Як довести проблему НЕ NP-Complete?

Чи є якась загальна методика доказування проблеми, яка НЕ ​​є NP-Complete?

Я отримав це питання на іспиті, який попросив мене показати, чи є якась проблема (див. Нижче) NP-Complete. Я не міг придумати жодного реального рішення, і просто довів, що це було в П. Очевидно, це не реальна відповідь.

NP-Complete визначається як сукупність проблем, які є в NP, і всі проблеми NP можуть бути зведені до нього. Тож будь-який доказ повинен суперечити хоча б одній із цих двох умов. Ця специфічна проблема справді є в Р (і, отже, в НП). Тож я застряг у доведенні, що в НП є якась проблема, яка не може бути зведена до цієї проблеми. Як на землі це можна довести ??

Ось конкретна проблема, яку мені дали на іспиті:

Нехай $DNF$ - множина рядків у нормальній диз'юнктній формі . Нехай $DNFSAT$ є мовою рядків з $DNF$ які можна задовольнити деяким призначенням змінних. Покажіть, чи є $DNFSAT$ в NP-Complete.

Спираючись на коментарі, вам здається, що ви хочете беззастережно відповісти.

Однак DNF-SAT знаходиться в L, присвоюючи змінні для задоволення першого диз'юнкту. Отже, якщо він є NP-повним, то L = NP.

З іншого боку, якщо L = NP, то при зменшенні простору журналу DNF-SAT є NP-повним. (Насправді, якщо L = NP, кожна проблема в NP є повної NP при скороченні простору журналу.)

Звідси випливає, що L = NP iff DNF-SAT є NP-повним при скороченні простору журналу.

Таким чином, ви зараз не можете зробити безумовне твердження, що DNF-SAT не є NP-завершеним, як вам здається. Не слід вважати, що P necessary NP, але відповідь має бути обумовлена ​​чимось, і L ≠ NP є найслабшою можливою гіпотезою, яка гарантує бажаний результат.

Проблема є NP-повною , якщо вона є як NP- важко і в НП. Це означає, що вам потрібно спростувати одне з цих двох.$Q$

1. У припущенні , що P NP, ви можете дати поліноміальний час алгоритму рішення Q . Рідше, при припущенні, що ізоморфізм графа не є NP-жорстким, можна показати, що Q полімітно зведений до ізоморфізму графіка.$\neq$$Q$$Q$
2. Ви показуєте, що не в NP. Це складніше, і зазвичай потрібно використовувати інші припущення, наприклад, не крах поліноміальної ієрархії, що NP ≠ coNP або показують, що це важко для іншого класу, вищого за NP, наприклад, показавши, що це NEXPTIME-важко.$Q$$\neq$

Як правило, відповідь має дати поліноміальний алгоритм часу, який був би найпростішим для ДНФА-SAT, але це залежить від гіпотези , що P NP. Однак доведення того, що DNF-SAT не є NP-повним без будь-яких припущень, означає, як вказує Шаул, доводячи, що P ≠ NP, так що дещо складніше.$\neq$$\neq$

За недетермінованою ієрархією часу ви могли б показати, що проблема - -hard; як N P ≠ N E X P , неможливо звести задачу в поліномному часі до будь-якої задачі в N $\mathsf {NEXP}$$\mathsf {NP} \ne \mathsf {NEXP}$$\mathsf {NP}$ , так що проблема не буде в .$\mathsf {NP}$

Однак якщо ваша проблема не є настільки складною, вам може бути важко довести, що вона не в ; і якщо в N P , ви будете важко натиску , щоб показати , що N P НЕ Karp-зводяться до вашої проблеми , не припускаючи , що P ≠ N P .$\mathsf {NP}$ $\mathsf {NP}$$\mathsf {NP}$$\mathsf P \ne \mathsf {NP}$

Як і у випадку з усіма доказами, немає формули для доказу твердження, ви повинні зробити розумні здогадки, проби та помилки, і, сподіваємось, вам вдасться довести те, що ви намагаєтесь довести. Щоб довести проблему НЕ NP-Complete, заперечте визначення (Закон DeMorgran), тобто доведіть проблему НЕ в NP або доведіть проблему NOT NP-Hard.

Я вважаю, що викладач насправді хоче, що ви могли б відрізнити проблеми, які є в P, від проблем, які є NP-повними в значенні, що дається мовою, чи можете ви створити ефективний алгоритм? якщо так, то підозрюється, що він не є повним NP, тому що ми не вважаємо, що мови в P є NP-повними! інакше вам все-таки доведеться довести, що проблема є важкою для NP!

зауважте, що існують деякі проблеми, про які ми не знаємо, такі статуси, як ізоморфізм графів, факторинг заданого числа, ... ми думаємо, що ці проблеми не є NP-повними, але ніхто це не міг довести! конкретно, ми маємо докази того, що ізоморфізм графа не є повним NP! інша проблема - це унікальна кон'юнктура гри, яка ми підозрюємо, що унікальна гра не є повною, але доказів не існує! тому описаний вами підхід не є корисним!