Що потрібно для універсальних аналогових обчислень?

Які операції потрібно виконати, щоб зробити будь-які довільні аналогові обчислення ? Чи вистачить складання, віднімання, множення та ділення?

Також хтось точно знає, які проблеми можна відстежити за допомогою аналогових обчислень, а не з цифровими?

На жаль, не існує "універсальної" концепції універсальності в аналогових обчисленнях. Однак у цьому документі Дельвенна пропонується об'єднати формалізм для універсальності дискретних (наприклад, машин Тюрінга) та безперервних (наприклад, диференціальних рівнянь) динамічних систем та оглядає деякі універсальні системи, вивчені в літературі. Ось уривок із статті, який неофіційно описує процедуру доказування універсальності динамічної системи:

Але більшість динамічних систем, що вивчаються в математиці та фізиці, мають незліченний простір стану, наприклад, стільникові автомати, диференціальні рівняння, кусочні лінійні карти тощо. Приклади цих систем виявились універсальними. Їх проблема зупинки імітується із машини Тьюрінга наступним чином. Ми вибираємо конкретну сімейство лічильників початкових станів, а також сім'ю кінцевих станів або кінцевих наборів станів. Тоді задачі зупинки надаються початковий стан і кінцевий стан / набір станів, чи досягне траєкторія, що починається з початкового стану, до кінцевого стану / набору станів. Більш конкретні приклади наведені в розділі 7.

Жан-Чарльз Дельвенн, Що таке універсальна обчислювальна машина ?, Прикладна математика та обчислення, Том 215, Випуск 4, 15 жовтня 2009 р., Сторінки 1368-1374

Я не думаю, що на питання можна відповісти, якщо у нас немає визначення, про які обчислення ми говоримо.

Універсальність моделі машини wrt класу обчисленьw означає, що будь-які обчислення в цьому класі можуть бути обчислені машиною. Якщо ви не визначите клас "довільних аналогових обчислень", ми не можемо відповісти, що для них універсальність.

Тепер перераховані вами функції дадуть лише поліноми та їх коефіцієнт, що є досить малим класом реальних функцій, ви навіть не можете обчислити прості функції, такі як , ⌊ x ⌋ , $2^x$$\lfloor x \rfloor$ , ... використовуючи їх.$\sqrt x$

Якщо ваше питання полягає в тому, чи існують фізичні системи, які, починаючи з початкового стану, через деякий час дістаються іншого стану, і якщо це завжди можна обчислити, то відповідь залежить від того, про яку фізику ми говоримо, і що це означає для встановлення початкова конфігурація та спостереження за результатом тощо.

Якщо ми просто математично говоримо про класичну фізику (ми можемо встановити будь-яку початкову конфігурацію безмежною точністю і без будь-яких міркувань щодо таких речей, як енергія, необхідна для налаштування конфігурації, і спостереження за результатом аналогічно з математичної точки зору), то це було відомо тривалий час існування диференціальних рівнянь щодо обчислюваних функцій, їх рішення не обчислюється, див. Маріан Б. Пур-Ель та Дж. Іен Річардс, « Обчислюваність в аналізі та фізиці », 1989.

Цікавий випадок, якщо проблема з n-тілом обчислюється (і якщо я правильно пам'ятаю, відповідь - ні, принаймні для ).$n>4$

Взагалі, якщо ми можемо просто перевірити рівність двох реальних чисел, що дає функцію, яка не є безперервним типологічним типологією інформації про реальні числа, а тому не може бути обчислена машиною Тюрінга, оскільки будь-яка функція (включаючи функції вищого типу), яка є машиною Тюрінга може обчислювати безперервно (wrt топологія інформації).

TL; DR: Якщо під "аналоговими комп'ютерами" ви маєте на увазі диференціальні аналізатори , то відповідь - суматори, постійні одиниці та інтегратор. Бурнес, Кампаньоло, Грача та Хайнрі показали в 2006 році ( платний / безкоштовний перевидання ), що ідеалізована його модель дозволяє обчислити всі обчислювані функції в рамках обчислювального аналізу , і для цієї моделі потрібні лише ці 3 види одиниць.

Трансцендентальні функції

$\sin$$\exp$$\log$

Аналогові обчислювальні моделі

Як підкреслюють інші, концепція "універсального обчислення" є менш зрозумілою для аналогових комп'ютерів, ніж для стандартних комп'ютерів, де різні природні уявлення про обчислюваність в різних обчислювальних моделях, де їх знайдено еквівалентом у 30-х роках (детальніше див. Сторінку Вікіпедії на Тезі Церкви Тьюрінга ) .

Для визначення такої універсальності слід спочатку визначити хорошу модель для аналогових обчислень, і це непросте завдання, оскільки модель повинна бути ідеалізованою і природною, щоб бути корисною, але її ідеалізація не повинна надавати нереалістичної сили модель. Прикладом такої гарної ідеалізації є нескінченна стрічка машин Тьюрінга. Проблема з аналоговими комп'ютерами пов'язана з реальними числами, які могли б створити необгрунтовані речі, такі як машина Zeno . Однак у літературі було запропоновано та використано декілька таких моделей (GPAC є основною темою цієї відповіді, але я намагаюся бути повним у списку нижче, без будь-якого гіперкомп'ютера ):

• загальне призначення аналогового комп'ютер (GPAC), визначається Claude E.Shannon в 1941 році ( paywalled PDF ) для моделювання диференціальних аналізаторів . Визначення GPAC нещодавно було вдосконалено, а його обчислювальна потужність була переглянута вгору;
• машина Е.Блюм-Smale , який діє в дискретні моменти часу на дійсних чисел. Вона тісно пов’язана з реальною моделлю оперативної пам'яті, яка часто використовується в обчислювальній геометрії;
• $\mathbb R$
• Нейронні мережі ;
• Обчислювальний аналіз , який розглядає реальні числа, обчислені машиною Тьюрінга.

Потужність моделі GPAC

$\Gamma$$\zeta$$y(t)=\Gamma(t)$Тим часом, здавалося, що такий аналоговий комп'ютер не є "універсальним", оскільки він не може генерувати якісь розумні обчислювальні функції, які використовуються математиками.

$f$$y(t)$$f(x)$$x$$\gamma$$\zeta$.

Тоді Бурнес, Грача та Полі показали, що в 2013 році ці аналогові комп'ютери можуть ефективно імітувати машину Тюрінга (стор. 181 великого pdf ), а в 2014 році, що класи складності P та NP в цій моделі еквівалентні.

Було б корисно припустити, що універсальна аналогова система може моделюватися нескінченною нейронною мережею, тобто будь-які інші аналогові вхідні та вихідні значення аналогової системи можуть бути реплікувані узгодженою нейронною мережею для даної операції, і операції можуть бути ланцюгові у міру необхідності?

Хоча я сам формулював цю думку, наступний пошук показав подібну пропозицію:

Виникає теза, схожа на Церкву-Тьюрінга, застосована до області аналогових обчислень, яка містить модель нейронної мережі замість цифрової машини Тьюрінга (див. Тут ).

Можливо, тоді все, що вам знадобиться, - це примітивні операції з переміщення значення з одного вузла на інший. Відключіть манжету, яка може бути плюс, мінус і розділити, щоб отримати співвідношення між з'єднаннями.

Тепер, що стосується нерозв'язних проблем, подивіться, де нейронні мережі успішно застосовані чи виконуються через те, що вони реалізовані на дискретному комп'ютері.

(і вибачте, якщо мій погляд майже лежачої людини на цю тему яскраво очевидний)