Відгадування найменшого унікального натурального числа

13

Розглянемо наступну гру: є деякі гравці та комп'ютер. Кожен гравець вводить одне додатне ціле число та його ім'я (гравець не знає чисел іншого, а лише своє власне). Коли всі гравці зробили свої кроки, комп'ютер виводить ім’я переможця - той, хто подав найменше унікальне число.

Як ви думаєте, яка найкраща стратегія цієї гри?

game-theory randomness

— vortexxx192
джерело

4

Існує купа веб-сторінок для цієї проблеми з суперечливими відповідями, але ця, мабуть, правильно зрозуміла її.

— Пітер Шор

@PeterShor або vortexxx192 - розглянути можливість узагальнення інформації за даним посиланням у відповіді, як це застосовно.

— Patrick87

Цю гру насправді проводив для голландської газети популярний математик. Учасників було 1607, а переможець вибрав 35. Джерело (голландська, платня

— Альберт Хендрікс

11

Існує ряд обговорень цієї гри в Інтернеті, але ви повинні бути обережні, оскільки деякі з них дають неправильні рішення. Цей веб-сайт пропонує чудову інформацію про те, як вирішити цю гру. (Частково грунтуючись на цьому документі .) Ви припускаєте, що всі гравці використовують однакову змішану стратегію, і коли всі гравці використовують цю стратегію, існує рівновага Неша. Це дає рівняння, які для трьох гравців мають рішення закритої форми: ви вибираєте ціле число з вірогідністю $i$

0,839286 \cdot (0,543689)^{i}

$0.839286 \cdot (0.543689)^{\textstyle i}$

де 0,543689 - це рішення . $x^3 + x^2 + x = 1$

Для гравців, якщо , рівняння все ще можна отримати, але, схоже, вони не мають рішення закритої форми. Однак в оптимальній стратегії ймовірність відтворення числа, більшого від , дуже мала, тому явну майже оптимальну стратегію можна знайти, розв’язуючи рівняння чисельно. $k$ $k \geq 4$ $k$

— Петро Шор
джерело

-1

Недостатньо репутації для коментарів, але варто зазначити, що якщо ваші опоненти грають за стратегію рівноваги Неша, Пітер Шор описав для гри на 3 гравців, ваші шанси на виграш становлять близько 29,6% незалежно від обраної вами кількості. Якщо ви граєте лише в одну гру (тому ніхто не може визначити вашу стратегію) і вважаєте нічию між усіма гравцями не кращою за програш, велика кількість, наприклад 89285829358008871, дасть вам такий же шанс на перемогу, як 1 або 2.

У цьому конкретному випадку нічого не можна втратити, спробувавши іншу стратегію, на випадок, якщо ваші опоненти не відповідають вашим припущенням.

— Метт Томпсон
джерело

В основному, ви говорите, що існують стратегії, які добре протидіють стратегії рівноваги. Це по суті завжди так, і, дійсно, все, що ви робите, - це порушення припущення, що гравці діють раціонально. Звичайно, ви можете перемогти рівновагу Неша, але якщо інші гравці знають, що ви будете намагатися це зробити, вони можуть зіграти таким чином, що змушує вас (швидше за все) програти.

— Девід Річербі,

Ні, це зовсім не було те, що я говорив! Я ніколи не заявляв, що рівновага Неша буде побита - якщо інші два гравці вибирають цю стратегію, то НЕ БУДЕ бути побитим. Швидше за все, реакція третього гравця не має значення, оскільки вона не впливає на кінцевий результат (в середньому), тому немає витрат на перемикання стратегій (якщо противник обирає, наприклад, неоптимальну стратегію - не передбачає раціональності в ОП ). У відповідь було більше висвітлити деякі особливості рівноваги Неша та обговорити деякі практичні наслідки. Чи вирішує це ваше питання?

— Метт Томпсон