Кодування обмеження 1-з-п для вирішувачів SAT

Я використовую розв'язувач SAT для кодування проблеми, і як частина примірника SAT, у мене є булеві змінні $x_1,x_2,\dots,x_n$ де передбачається, що саме одна з них повинна бути правдою, а решта повинна бути помилковим. (Я іноді бачив, як це описано як "гаряче" кодування.)

Я хочу кодувати обмеження "рівно один з $x_1,\dots,x_n$ повинен бути істинним" в SAT. Який найкращий спосіб кодувати це обмеження, щоб змусити SAT вирішувач працювати максимально ефективно?

Я бачу багато способів кодування цього обмеження:

• Парні обмеження. Я можу додати парні обмеження для всіх i , j, щоб переконатися, що щонайменше один x i є істинним, а потім додати x 1 ∨ x 2 ∨ ⋯ ∨ x n, щоб переконатися, що принаймні одна правда.$\neg x_i \lor \neg x_j$$i,j$$x_i$$x_1 \lor x_2 \lor \cdots \lor x_n$

  Це додає пунктів і ніяких зайвих бульових змінних.$\Theta(n^2)$

• Бінарне кодування. Я міг би ввести нових булевих змінних i 1 , i 2 , … , i lg n, щоб представляти (у двійковій) ціле число i таке, що 1 ≤ i ≤ n (додавання декількох булевих обмежень для того, щоб я знаходився в бажаному діапазоні ). Тоді я можу додати обмеження, що підтверджують, що x i - дерево, а всі інші x j - хибні. Іншими словами, для кожного j ми додаємо пропозиції, що підтверджують, що i = $\lg n$$i_1,i_2,\dots,i_{\lg n}$$i$$1 \le i \le n$$i$$x_i$$x_j$$j$ .$i=j \Leftrightarrow x_j$

  Це додає пропозицій, і я не знаю, скільки зайвих булевих змінних.$\Theta(n \lg n)$

• Порахуйте кількість справжніх значень. Я міг би реалізувати дерево булевих схем суматорів і вимагати, щоб , розглядаючи кожне x i як 0 або 1 замість помилкового або істинного, і використовувати перетворення Цеїтіна для перетворення схеми в SAT пункти. Дерева напівсубарів достатньо: обмежте вихідний показник кожної половини додавача на 0 і обмежте кінцевий вихід остаточного додавача в дереві рівним 1. Дерево може бути обрано будь-якої форми ( збалансоване бінарне дерево, або незбалансоване, або будь-що інше).$x_1+x_2+\dots+x_n=1$$x_i$

  Це може бути зроблено в ворота і , таким чином , додає thetas ; ( п ) положення і Θ ( п ) нові логічні змінні.$\Theta(n)$$\Theta(n)$$\Theta(n)$

  Особливим випадком такого підходу є введення булевих змінних з ідеєю, що y i має містити значення x 1 ∨ x 2 ∨ ⋯ ∨ x i . Цей намір можна реалізувати, додавши пункти y i ∨ ¬ x i , y i ∨ ¬ y i - 1 , і ¬ y i ∨ x i ∨ y i $y_1,\dots,y_n$$y_i$$x_1 \lor x_2 \lor \cdots \lor x_i$$y_i \lor \neg x_i$$y_i \lor \neg y_{i-1}$ (де ми розглядаємо y 0 як синонім помилкового) дляi=1,…,n. Далі ми можемо додати обмеження¬ y i ∨¬ x i + 1 дляi=1,2,…,n-1. Це в основному еквівалент трансформації Цеїтіна дерева, що наполовину додає, де дерево має максимально незбалансовану форму.$\neg y_i \lor x_i \lor y_{i-1}$$y_0$$i=1,\dots,n$$\neg y_i \lor \neg x_{i+1}$$i=1,2,\dots,n-1$

• Метелик мережа Я міг би побудувати мережу метеликів на бітах, обмежити n- бітовий вхід на 000 ⋯ 01 , обмежити n- бітний вихід на x 1 x 2 ⋯ x n і розглянути кожне 2-бітове затвор метелика як незалежний затвор що або поміняє місцями, або не поміняє своєю інформацією на рішення, що робити на основі нової нової булевої змінної, яка не обмежується. Тоді я можу застосувати перетворення Цеїтіна для перетворення схеми на пропозиції SAT.$n$$n$$000\cdots 01$$n$$x_1 x_2 \cdots x_n$

  Для цього потрібні ворота і, таким чином, додаються Θ ( n lg n ) пропозиції та Θ ( n lg n ) нові булеві змінні.$\Theta(n \lg n)$$\Theta(n \lg n)$$\Theta(n \lg n)$

Чи є якісь інші методи, яких я не помітив? Який я повинен використовувати? Хтось тестував це, чи пробував їх експериментально, чи хтось із цим має досвід? Чи кількість пропозицій та / або кількість нових булевих змінних є хорошим показником для оцінки впливу цього на продуктивність вирішувача SAT, чи ні, який би ви використовували?

Я щойно помітив, що у цій відповіді є деякі посилання на забезпечення обмежень кардинальності для SAT, тобто на виконання обмеження, що саме з n змінних є істинним. Отже, моє запитання зводиться до особливого випадку, коли k = 1 . Можливо, література про обмеження кардинальності допоможе пролити світло на моє запитання.$k$$n$$k=1$

Для особливого випадку k з n змінних правдиво, де k = 1, існує кодування змінної команди, як описано в Efficient Encoding CNF для вибору від 1 до N об'єктів Klieber та Kwon. Спрощено: розділіть змінні на невеликі групи та додайте пункти, які спричиняють стан змінної команди зазначати, що група змінних або є всіма помилковими, або всіма-але-одна хибними. Потім рекурсивно застосуйте той же алгоритм до змінних командирів. В кінці процесу вимагають, щоб саме одна з жменьки остаточних змінних командира була правдивою. Результатом є O (n) нові пропозиції та O (n) нові змінні.

Враховуючи всюдислісність двох дивіться-літералів у рішеннях на базі DPLL, я думаю, що зростання пропозиції O (n) є вирішальною перевагою перед схемами кодування, які б додали більше пропозицій.

Документ Магнуса Бьорка описує дві методики, які варто варто спробувати.

$n$$x_1,\dots,x_n$$y_1,\dots,y_b$$b = \lg n$$(x_1 \lor \dots \lor x_n)$$2 \lg n$$x_i \implies \neg y_j$$x_i \implies y_j$$j$$i$

$k$$n$$x_1,\dots,x_n$$y_1,\dots,y_n$$y_k$$y_{k+1}$$O(n \lg^2 n)$$O(n \lg^2 n)$

Папір є

Магнус Бьорк. Успішні методи кодування SAT . 25 липня 2009 року.

$n$$k$$n$

Алан М. Фріш, Пол А. Джаннарос. Кодування SAT обмеження At-Most-k: деякі старі, деякі нові, деякі швидкі, деякі повільні . ModRef 2010.