Як довести, що мова є регулярною?

Існує багато методів, щоб довести, що мова не є регулярною , але що мені потрібно зробити, щоб довести, що якась мова є регулярною?

Наприклад, якщо мені дано, що є регулярним, як я можу довести, що наступний є регулярним?L $L$$L'$

$\qquad \displaystyle L' := \{w \in L: uv = w \text{ for } u \in \Sigma^* \setminus L \text{ and } v \in \Sigma^+ \}$

Чи можу я намалювати недетермінований кінцевий автомат, щоб довести це?

Так, якщо ви можете придумати що-небудь із наступного:

• детермінований кінцевий автомат (DFA),
• недетермінований кінцевий автомат (NFA),
• регулярне вираження ( регулярне вираження формальних мов) або
• звичайна граматика

для деякої мови , то регулярна. Є більш еквівалентні моделі , але перераховані вище є найбільш поширеними.$L$$L$

Також є корисні властивості поза «обчислювальним» світом. також регулярно, якщо$L$

• це скінченно,

• Ви можете побудувати його, виконавши певні операції на звичайних мовах, і ці операції закриті для звичайних мов , таких як

  • перехрестя,
  • доповнення,
  • гомоморфізм,
  • розворот,
  • лівий або правий коефіцієнт,
  • регулярна трансдукція

  і більше , або

• використовуючи теорему Міхілла-Нерода, якщо число класів еквівалентності для є кінцевим.$L$

У наведеному прикладі ми маємо деякий (звичайний) багаж як основу і хочемо сказати щось про мову похідну від нього. Дотримуючись першого підходу - побудуйте відповідну модель для - ми можемо припустити, яку еквівалентну модель для ми так хочемо; це, звичайно, залишатиметься абстрактним, оскільки невідомий. У другому підході ми можемо використовувати безпосередньо і застосувати до нього властивості закриття, щоб дійти до опису для .L ′ L ′ L L L L $L$$L'$$L'$$L$$L$$L$$L'$

Елементарні методи

1. Кінцеві автомати (можливо, недетерміновані, з порожніми переходами).
2. Регулярні вирази.
3. Праві (або зліва, але не обидва) лінійні рівняння, як де і є правильними.K $X = KX + L$$K$$L$
4. Регулярні (3 тип) граматики.
5. Операції із збереженням регулярних мов (булеві операції, продукт, зірка, переміщення, морфізми, обертання морфізмів, перетворення тощо)
6. Розпізнається кінцевим моноїдом.

Логічні методи (часто використовуються в офіційній верифікації)

1. Монадична логіка другого порядку (теорема Бючі).
2. Лінійна часова логіка (теорема Кампа).
3. Теорема дерева Рабіна (логіка Монадика другого порядку з двома наступниками). Дуже потужний.

Передові методи

1. Витончені накачані леми. Див., Наприклад,
   [1] Дж. Джефф, необхідна і достатня насосна лема для звичайних мов, Sigact News - SIGACT 10 (1978) 48-49.
   [2] А. Еренфехт, Р. Парих, Г. Розенберг, Насосні леми для регулярних множин, SIAM J. Comput. 10 (1981), 536–541.
   [3] S. Varricchio, Умова перекачування для регулярних наборів, SIAM J. Comput. 26 (1997) 764-771.

2. Ну квазі замовлення. Див.
   [4] У. Бюхер, А. Еренфехт, Д. Гауслер, Про загальні регулятори, породжені дериваційними відносинами, Теор. Обчислення. Наук. 40 (1985) 131–148.
   [5] М. Кунц, Регулярні рішення нерівностей мови та квазіпорядки .

3. Підтримка -раціональних рядів.$\mathbb{N}$

4. Алгебраїчні методи, засновані на трансдукції (див. Також Операції зі збереженням звичайних мов ).

Відповідь Ran G. дає досить широкий перелік еквівалентних моделей, які можна використовувати для визначення звичайних мов (і список продовжується, двосторонні автомати, логіка MSO, але це охоплене посиланням у розділі "більш еквівалентні моделі" '). І як наголошує Рафаель, нам потрібен аргумент, щоб переконати аудиторію, що обране представництво справді правильне.

Переглядаючи питання, він додає "Наприклад ". Це означає, що ми повинні дати дійсну конструкцію, яка, з огляду на будь-яку з перерахованих вище моделей, ми вважаємо, що вказана мова , перетворює цю модель в одну для . Це, як правило, буде однотипним моделем, але цього не потрібно: ми можемо, наприклад, почати з детермінованої FSA для і закінчити з недетермінованою для .L L ′ L L $\dots$$L$$L'$$L$$L'$

Сюди входить можливість використовувати операції закриття: в явно заданій операції в прикладі маємо .$L'= (\Sigma^* \setminus L) \cdot \Sigma^*$

Отже, моя думка полягає в тому, що відповідь чудова, але нам слід додати "від до конструкцію ", коли не будувати конкретної мови з нуля.L $L$$L'$

$s$$k$$s$<some property>$k$$k$

$$L_1 \mathop{S} L_2 = \{ x_1y_1 \ldots x_n y_n \in \Sigma^* : x_1 \ldots x_n \in L_1, y_1 \ldots y_n \in L_2 \}$$ $A_i = \langle \Sigma, Q_i, F_i, \delta_i, q_{0i} \rangle$$L_i$$i=1,2$$\langle \Sigma, Q, F, \delta, q_0 \rangle$

• $Q_1 \times Q_2 \times \{1,2\}$$x_i$$y_i$
• $q_0 = \langle q_{01}, q_{02}, 1 \rangle$
• $F = F_1 \times F_2 \times \{1\}$
• $\delta(\langle q_1, q_2, 1 \rangle, \sigma) = \langle \delta_1(q_1,\sigma), q_2, 2 \rangle$$\delta(\langle q_1, q_2, 2 \rangle, \sigma) = \langle q_1, \delta_2(q_2,\sigma), 1 \rangle$

---

$$L^R = \{ w^R : w \in \Sigma^* \}.$$ $(w_1\ldots w_n)^R = w_n \ldots w_1$$L$$\langle \Sigma, Q, F, \delta, q_0 \rangle$$\langle \Sigma, Q', F', \delta', q'_0 \rangle$

• $Q' = Q \cup \{q'_0\}$
• $q'_0$
• $q_0$
• $\delta'(q'_0,\epsilon) = F$$q \in Q$$\sigma \in \Sigma$$\delta(q', \sigma) = \{ q : \delta(q,\sigma) = q' \}$

$q'_0$

---

$$R(L) = \{ yx \in \Sigma^* : xy \in L \}.$$ $L$$\langle \Sigma, Q, F, \delta, q_0 \rangle$$\langle \Sigma, Q', F', \delta', q'_0 \rangle$$q=\delta(q_0,x)$$\delta(q,y) \in F$$\delta(q_0,x) = q$$y$$x$

• $Q' = \{q'_0\} \cup Q \times Q \times \{1,2\}$$q'_0$$\langle q,q_{curr}, s \rangle$$q$$q_{curr}$$s$$y$$x$
• $F' = \{\langle q,q,2 \rangle : q \in Q\}$$\delta(q_0,x)=q$
• $\delta'(q'_0,\epsilon) = \{\langle q,q,1 \rangle : q \in Q\}$$q$
• $\delta'(\langle q,q_{curr},s \rangle, \sigma) = \langle q,\delta(q_{curr},\sigma),s \rangle$$q,q_{curr} \in Q$$s \in \{1,2\}$
• $\delta'(\langle q,q_f,1 \rangle, \epsilon) = \langle q,q_0,2 \rangle$$q \in Q$$q_f \in F$$y$$x$$y$

---

$$E_k(L) = \{ x \in \Sigma^* : \text{ there exists $y \in L$ whose edit distance from $x$ is at most $k$} \}.$$ $\langle \Sigma, Q, F, \delta, q_0 \rangle$$L$$\langle \Sigma, Q', F', \delta', q'_0 \rangle$$E_k(L)$

• $Q' = Q \times \{0,\ldots,k\}$
• $q'_0 = \langle q_0,0 \rangle$
• $F' = F \times \{0,\ldots,k\}$
• $q,\sigma,i$$\langle \delta(q,\sigma), i \rangle \in \delta'(\langle q,i \rangle, \sigma)$
• $\langle q,i+1 \rangle \in \delta'(\langle q,i \rangle, \sigma)$$q,\sigma,i$$i < k$
• $\langle \delta(q,\sigma), i+1 \rangle \in \delta'(\langle q,i \rangle, \epsilon)$$q,\sigma,i$$i < k$
• $\langle \delta(q,\sigma), i+1 \rangle \in \delta'(\langle q,i \rangle, \tau)$$q,\sigma,\tau,i$$i < k$

Мова є звичайним, якщо ви можете написати сканер, який визначає довільні рядки, належать вони чи ні до мови, використовуючи не більше фіксованого обсягу пам'яті, тобто розпізнавання може здійснюватися в просторі O (1) .

Регулярне перетворення виразів - один із способів довести закриття під певними операціями. Два найпростіші приклади - це закриття під час розвороту та закриття під гомоморфізмом .

$r$$L$$L^R$$L$

• $\epsilon^R = \epsilon$$\sigma^R = \sigma$$\emptyset^R = \emptyset$
• $(r_1+r_2)^R = (r_1^R + r_2^R)$$(r^*)^R = (r^R)^*$$(r_1r_2)^R = r_2^R r_1^R$

$(r_1r_2)^R = r_2^R r_1^R$$(0^*1^*)^R = 1^*0^*$$r^R$$L^R$

$h\colon \Sigma \to \Delta^*$$r$$L$$h(L)$$\sigma$$r$$h(\sigma)$

Інший спосіб - це нарощування мови за допомогою операцій, під якими ви знаєте, що вони закриті. Це розширення для демонстрації регулярного вираження, оскільки у вас є багато інших операцій (переверніть рядок, доповнити, перетин, відрізати шматок, просто збережіть частину, гомоморфізми та зворотні гомоморфізми, ...)