Випадковий вибір

Алгоритм рандомізованого відбору такий:

Введення: Масив з (чітких, для простоти) чисел та числа $A$ $n$ $k\in [n]$

Вихід: "ранговий елемент" (тобто той, який знаходиться в положенні якщо було відсортовано) $k$ $A$ $k$ $A$

Спосіб:

Якщо є один елемент в , повернути його $A$
Виберіть елемент ("стрижень") рівномірно навмання $p$
Обчисліть множини і $L = \{a\in A : a < p\}$ $R = \{a\in A : a > p\}$
Якщо , повертає ранг елемент . $|L| \ge k$ $k$ $L$
В іншому випадку поверніть ранг елемент $k - |L|$ $R$

Мені було задано наступне питання:

Нехай , так що ви шукаєте медіани, і нехай буде постійним. Яка ймовірність того, що при першому рекурсивному виклику множина, що містить медіану, має розмір не більше ? $k=n/2$ $\alpha\in (1/2,1)$ $\alpha n$

Мені відповіли, що відповідь - , з обґрунтуванням "Вибраний шарнір повинен лежати між і разів більше вихідного масиву" $2\alpha - 1$ $1−\alpha$ $\alpha$

Чому? Як , будь-який елемент, обраний як шарнір, або більший, або менший, ніж половина початкових елементів. Медіана завжди лежить у більшому підматриці, оскільки елементів у розділеному підмасиві завжди менше, ніж зведене. $\alpha \in (0.5, 1)$

Якщо стрижень лежить у першій половині початкового масиву (менше половини з них), медіана неодмінно опиниться у другій більшій половині, бо як тільки буде знайдена медіана, вона повинна знаходитися в середньому положенні масиву, і все, перш ніж стрижень менше, як зазначено вище.

Якщо шарнір лежить у другій половині початкового масиву (більше половини елементів), медіана, безумовно, спочатку більша половина, з тієї ж причини, все до того, як стрижень вважається меншим.

Приклад:

3 4 5 8 7 9 2 1 6 10

Медіана 5.

Припустимо, що вибраний стрижень дорівнює 2. Отже, після першої ітерації він стає:

1 2 .... більша частина ....

Тільки обмінюються 1і 2обмінюються після першої ітерації. Число 5 (медіана) все ще знаходиться в першій більшій половині (відповідно до точки 2). Справа в тому, що медіана завжди лежить на більшій половині, як вона може мати шанс залишитися в меншому підмарітті?

— Амуму
джерело

Ми не лежали на вашій лекції, тому, будь ласка, поясніть метод.

— Рафаель

Не знаючи, про який алгоритм точних точок ви говорите, ваше питання не читабельне. Ви, здається, використовуєте

у різних можливостях; Я спробував редагувати, але не впевнений, що вловив сенс. Перегляньте, щоб питання було зрозумілим. Голосування про закриття до цього часу.

.5

$.5$

— Рафаель

Це алгоритм відбору за допомогою рандомізованого методу на відміну від детермінованого методу.

— Amumu

Існує багато способів вибрати елемент довільно.

— Рафаель

@Amumu: я редагував це для опису алгоритму. На такому форумі не всі дізнаються про що ви говорите, і існує дуже різний рандомізований підхід до вибору, який простіше проаналізувати.

— Луї

$n$ $\alpha n$ $(1-\alpha) n$ $(1-\alpha) n$ $\alpha > 1/2$ $2 - 2\alpha$ $1- 2 + 2\alpha=2\alpha - 1$

— Луї
джерело

Дякую за відповідь. У мене ще є кілька незрозумілих речей. Отже, що α> 1/2 має щось спільне з роз'єднаними множинами? Я думав, що коли у нас завжди є непересічні набори за допомогою цього методу, незалежно від розміру підмножини.

— Amumu

1 - α < 1 / 2

$1-\alpha < 1/2$

(1 - α) n < n - (1 - α) n

$(1-\alpha)n < n - (1-\alpha)n$

Лише одне останнє: що стосується поганого / хорошого стрижня? Наскільки я знаю, хороший шарнір зазвичай знаходиться в діапазоні 25-75 (що розбиває початкові масиви на 25% -75%), а поганий - поза цим діапазоном, і гірший, як правило, на початку або в кінці оригіналу масив. Але це?

— Amumu

Тут я кажу, що стрижень "поганий", якщо він робить більшу частину більшою, ніж ви хочете, що є

α n

$\alpha n$ розмір. Те, що ви називаєте поганим, відповідає

α = 3 / 4

$\alpha = 3/4$ . Я підозрюю, що питання полягає в тому, що ваш інструктор хотів, щоб ви побачили це

O (\cdot)

$O(\cdot)$ порядок очікуваного часу роботи не змінюється шляхом зміни

α

$\alpha$ .

— Луї