Різка концентрація для відбору шляхом випадкового розподілу?

Звичайний простий алгоритм знаходження серединного елемента в масиві з чисел: $A$ $n$

Зразок елементів з із заміною на $n^{3/4}$ $A$ $B$
Сортування і знайти ранг елементів і про $B$ $|B|\pm \sqrt{n}$ $l$ $r$ $B$
Переконайтеся, що і знаходяться на протилежних сторонах медіани і що в між та є не більше елементів для деякої відповідної постійної . Не вдасться, якщо цього не відбудеться. $l$ $r$ $A$ $C\sqrt{n}$ $A$ $l$ $r$ $C > 0$
В іншому випадку знайдіть медіану, відсортувавши елементи між та $A$ $l$ $r$

Не важко зрозуміти, що це працює в лінійний час і що це досягає високої ймовірності. (Усі погані події - це великі відхилення від очікування бінома.)

Альтернативний алгоритм цієї ж проблеми, який природніше навчити студентам, які побачили швидке сортування, є описаним тут: Випадковий вибір

Неважко також помітити, що цей має лінійний очікуваний час роботи: скажіть, що "раунд" - це послідовність рекурсивних викликів, яка закінчується, коли дається розділення 1 / 4-3 / 4, а потім спостерігайте, що очікувана тривалість круглий максимум 2. (У першому розіграші раунду ймовірність отримати хороший розкол становить 1/2, а потім після того, як насправді збільшується, як алгоритм був описаний, так що довга кругла переважає геометрична випадкова величина.)

Отже, тепер питання:

Чи можливо показати, що рандомізований вибір проходить у лінійний час з високою ймовірністю?

У нас є раунди, і кожен раунд має довжину принаймні з вірогідністю не більше , тому зв'язане з'єднання дає, що час запуску - з ймовірністю . $O(\log n)$ $k$ $2^{-k+1}$ $O(n\log\log n)$ $1-1/O(\log n)$

Це свого роду незадовільно, але чи це насправді правда?

algorithms algorithm-analysis randomized-algorithms

— Луї
джерело

Поясніть, до якого алгоритму стосуються ваших питань.

— Рафаель

Ви запитуєте, чи правильно ви застосували свій союз, чи є краща, більш задовольняюча межа?

— Джо

@Joe Останній. Справа в тому, що круглі - це артефакт, щоб отримати, що довга круглої форми переважає геометричну. Тоді аналізи «забувають», чи алгоритм попереду чи позаду того, який завжди отримує 1 / 4-3 / 4 розкол на носі, щоб зробити геометрію незалежною. Мене запитують, чи все-таки це "обман", як Юваль висловився нижче.

— Луї

$\Theta(n)$ $G(1/2)$ $p(n) \longrightarrow 0$ $\Pr[G(1/2) \geq \log_2 p(n)^{-1}] = p(n)$ $\Omega(n \log_2 p(n)^{-1}) = \omega(n)$

(Існує деяка обман, оскільки тривалість першого раунду насправді не . Більш ретельний аналіз може відповісти або не підтвердити цю відповідь.) $G(1/2)$

Правка: Грюбель та Рослер довели, що очікувана кількість порівнянь, поділених на тенденцій (у певному сенсі) до деякого граничного розподілу, що не є необмеженим. Дивіться, наприклад, статтю Грюбеля "Алгоритм вибору Хоара: ланцюговий підхід Маркова", де посилається на їх оригінальний документ. $n$

— Юваль Фільм
джерело

Ось річ, яка мене турбує. Як я вже говорив у своєму коментарі вище, раунди - це лише спосіб аналізу «уповільненої» версії алгоритму, який чекає, поки він отримає достатньо хороший шар для продовження. Що ви показуєте, це те, що для будь-якого фіксованого ймовірність першого раунду потребує більше, ніж поворотів . Але, в принципі, довгий перший раунд може бути компенсований порожнім 2-м раундом, в тому сенсі, що в кінці кінця алгоритм "не уповільнений" наздогнав той, який завжди отримує розрив 1 / 4-3 / 4 .

C > 0

$C>0$

C

$C$

> 0

$>0$

— Луї

Це неправда, якщо перший раунд довгий, то весь час бігу довгий, оскільки подальший раунд не може скоротити час виконання. Справа в тому, що для будь-якого перший тур потребує часу щонайменше з деякою постійною ймовірністю .

C

$C$

C n

$Cn$

p_{C} > 0

$p_C > 0$

— Yuval Filmus

Зараз я щасливіший, оскільки кругла довжина не набагато менша, ніж геометрична, яка використовується для верхньої межі. Я думаю, що це те, що G&R робить небезпечними. Гарна відповідь.

— Луї