Експоненціальний поділ між NFA та DFA за наявності союзів

Нещодавно було задано цікаве запитання та згодом його видалили.

Для звичайної мови $L$ її складність DFA - це розмір мінімальної DFA, що приймає її, а її складність NFA - це розмір мінімальної NFA, що приймає її. Загальновідомо, що між двома складностями існує експоненціальне розділення, принаймні, коли розмір алфавіту не обмежений. Дійсно, розглянемо мову $L_n$ над алфавітом $\{1,\ldots,n\}$ що складається з усіх слів, що не містять усіх символів. За допомогою теореми Міхілла-Нерода легко обчислити складність DFA $2^n$ . З іншого боку, складність NFA становить лише $n$(якщо дозволено кілька початкових станів; інакше це ).$n+1$

Вилучений питання стосувалося DFA покриття складності на мові, який є мінімальним така , що L можна записати в вигляді (не обов'язково перетинаються) об'єднання мов складності DFA в більшості C . Складність покриття DFA L n становить лише 2 .$C$$L$$C$$L_n$$2$

Чи існує експоненціальний поділ між складністю NFA та DFA, що охоплює складність?

Розглянемо мову , де # - новий символ. Складність NFA M n дорівнює n . Ми покажемо, що його складність покриття DFA становить 2 n .$M_n = \epsilon +(L_n \#)^*L_n$$\#$$M_n$$n$$2^n$

Нехай бути DFA приймає деякий мову L ( A ) ⊆ M н , с перехідною функцією д А . Викличте стан s життєздатним, якщо є якесь слово w таке, що q A ( s , w ) - це стан, що приймає. Для будь-яких двох станів безвідмов s , t , нехай A s , t = { w ∈ ( 1 + ⋯$A$$L(A) \subseteq M_n$$q_A$$s$$w$$q_A(s,w)$$s,t$Не важко перевірити, що кожне слово w ∈ L ( A ) можна записати як w = w 1 # ⋯ # w l, де w i ∈ A s i , t i для деякої життєздатності s i , t i .

$$A_{s,t} = \{ w \in (1+\cdots+n)^* : q_A(s,w) = t \}.$$ $w \in L(A)$$w = w_1\# \cdots \#w_l$$w_i \in A_{s_i,t_i}$$s_i,t_i$

Припустимо, що , де кожен A i - DFA. Нехай P - решітка, породжена всіма мовами A i s , t . Ми можемо розглядати L ( A i ) як мову L P ( A i ) над P ∗ , простір між будь-якими двома символами, що відповідають # . Під цією точкою зору, M $M_n = \bigcup_{i=1}^N L(A^i)$$A^i$$P$$A^i_{s,t}$$L(A^i)$$L_P(A^i)$$P^*$$\#$$M_n$відповідає .$P^*$

Виклик універсальним, якщо для деякого x ∈ P ∗ випадок, що для всіх y ∈ P існує z ∈ P ∗ такий, що x y z ∈ L P ( A i ) . Ми стверджуємо, що деякий L P ( A i ) є універсальним. В іншому випадку кожен L P ( A i ) містить максимум ( |$L_P(A^i)$ $x \in P^*$$y \in P$$z \in P^*$$xyz \in L_P(A^i)$$L_P(A^i)$$L_P(A^i)$ слова довжиною l . Загалом L P ( A i ) повинен містити всі | П | l слова довжиною l , отже | П | l ≤ N ( | P | - 1 ) l , що порушується для досить великих l .$(|P|-1)^l$$l$$L_P(A^i)$$|P|^l$$l$$|P|^l \leq N (|P|-1)^l$$l$

Припустимо, що є універсальним, а для стислості напишіть A = A i . Нехай x ′ ∈ P ∗ - відповідний префікс, а x ∈ M n - якесь відповідне йому слово. Таким чином, для кожного y ∈ L n існує деякий z y ∈ M n такий, що x # y # z y y$L_P(A^i)$$A = A^i$$x' \in P^*$$x \in M_n$$y \in L_n$$z_y \in M_n$ .$x\#y\#z_y \in L(A_i)$

Для підмножини , нехай y S складається з букв у S, написаних у порядку. Покажемо , що слова х # у S нееквівалентний для Myhill-Nerode відносини А . Справді, припустимо, S ≠ T і знайдемо деякий a ∈ S ∖ T (без втрати загальності). Тоді x # y T y { 1 , … , n } - $S \subseteq \{1,\ldots,n\}$$y_S$$S$$x\#y_S$$A$$S \neq T$$a \in S \setminus T$ а x # y S y { 1 , … , n } - a # z y T y { 1 , … , n } - a ∉ M н . Тому A повинен мати щонайменше 2 n станів.$x\#y_T y_{\{1,\ldots,n\} - a} \# z_{y_T y_{\{1,\ldots,n\} - a}} \in L(A)$$x\#y_S y_{\{1,\ldots,n\} - a} \# z_{y_T y_{\{1,\ldots,n\} - a}} \notin M_n$$A$$2^n$