Скорочення серед невирішених проблем

Мені шкода, якщо на це питання є якась тривіальна відповідь, яку я пропускаю. Кожного разу, коли я вивчаю якусь проблему, яка виявилася невід’ємною, я зауважую, що доказ покладається на зменшення до іншої проблеми, яка виявилася невирішеною. Я розумію, що це створює якесь наказ про ступінь складності проблеми. Але моє запитання - чи було доведено, що всі проблеми, які не можна визначити, можна звести до іншої проблеми, яку не можна визначити. Чи не можливо, що існує невирішальна проблема, яка може виявитись не відносною жодної іншої невирішеної проблеми (Отже, щоб довести нерозбірливість такої проблеми, скорочення не можна використовувати). Якщо ми використовуємо скорочення для створення замовлення за ступенем обчислюваності, то цій задачі не можна присвоїти такий ступінь.

computability reductions undecidability

— swarnim_narayan
джерело

Коротка відповідь: далеко не тривіальне! Подивіться на арифметичну ієрархію .

— Гендрик Ян

Що про це: якщо є нерозв'язним мову і найменший елемент в

. Тоді

зводиться (і навпаки) в

. Якщо ви додатково додаєте елемент до

(скажімо, найменший елемент не в

), то у вас є зменшення на 1-1.

L

$L$

x min L

$x \min L$

L

$L$

L^{'} = L ∖ {x}

$L' = L \setminus \{x\}$

L

$L$

L^{'}

$L'$

L

$L$

— Pål GD

Як згадував Хендрік Ян, насправді існують різні ступені невизначеності. Наприклад, проблема вирішення питання про те, чи зупиняється машина Тюрінга на всіх входах, важче, ніж проблема зупинки, у такому розумінні: навіть якщо задати оракул для проблеми зупинки, ми не можемо вирішити, чи зупиняється дана машина Тьюрінга на всіх входах .

Один важливий прийом, який використовується для показу таких відносин, - це діагоналізація . Використовуючи діагоналізацію заданої задачі ми завжди можемо знайти більш важку проблему, а саме проблему зупинки машин Тьюрінга з доступом до oracle. Нова проблема є складнішою в наступному сенсі: машина Тьюрінга з доступом до Oracle до не може вирішити . У цьому сенсі немає "найважчої" проблеми. $P$ $P$ $P'$ $P$ $P'$

— Юваль Фільм
джерело

Дякую за відповідь. Я зрозумів, що ти кажеш. Ми можемо побудувати «складніші» проблеми із «важких». Але чи повинні ці схеми побудови більш важких проблем із важких (наприклад, діагоналізація є однією з таких схем, як ви згадали) обов'язково охоплювали "всі" існуючі нерозв'язні проблеми (тобто вони гарантовано побудують набір усіх невирішених проблем). Чи не можливо, що деякі, можливо, залишилися в будівництві, і вони не можуть бути побудовані з інших невизначених?

— swarnim_narayan

Навпаки, ми знаємо, що більшість проблем залишиться поза увагою, оскільки існує лише багато визначених проблем, але загалом безліч проблем. Більш конкретно, ви запитуєте, як визначити "справді важкі" проблеми, рекурсивно-теоретичний аналог великих кардиналів. Якщо саме це вас цікавить, задайте нове питання, зосереджене на цьому аспекті.

— Yuval Filmus

Аналогічна проблема виявляється при побудові ієрархій рекурсивних швидко зростаючих функцій, і в цьому випадку відомо, що в певному сенсі немає способу побудувати приємну, вичерпну ієрархію.

— Yuval Filmus