У чому різниця між алгоритмом, мовою та проблемою?

Здається, на цьому сайті люди часто виправляють інших за те, що плутають «алгоритми» та «проблеми». У чому різниця між ними? Як дізнатися, коли мені слід розглянути алгоритми та розглянути проблеми? І як вони ставляться до поняття мови у формальній теорії мови?

Для простоти я розпочну лише з розгляду проблем «рішення», на які є відповідь «так / ні». Проблеми з функціонуванням працюють приблизно однаково, за винятком того, що замість так / ні, з кожним введеним словом є специфічне вихідне слово.

Мова : мова - це просто набір рядків. Якщо у вас є алфавіт, такий як , то Σ ∗ - це набір усіх слів, що містять лише символи у Σ . Наприклад, { 0 , 1 } ∗ - це сукупність усіх бінарних послідовностей будь-якої довжини. Але алфавіт не повинен бути двійковим. Це може бути одинарний, потрійний тощо.$\Sigma$$\Sigma^*$$\Sigma$$\{0,1 \}^*$

Мова над алфавітом - це будь-який підмножина Σ ∗ .$\Sigma$$\Sigma^*$

Проблема : Проблема - це запитання щодо запиту, на який ми б хотіли відповісти. Зокрема, проблема рішення - це питання, яке задає питання: "Чи відповідає наш вхід властивістю ?$X$

$X$

$L = \{w \mid w$$y$$X$$y$$X$$\}$

Визначення того, чи відповідає відповідь на вхід до проблеми рішення "так", рівнозначно, чи кодування цього вводу над алфавітом відповідає відповідній мові.

Алгоритм : Алгоритм - це покроковий спосіб вирішення проблеми. Зауважте, що алгоритм може бути виражений багатьма способами та багатьма мовами, і що існує багато різних алгоритмів, що вирішують будь-яку задачу.

$M$

$L(M) = \{w \mid M$$w\}$

$\mathsf{R}$$\mathsf{RE}$

Взаємозв’язок між мовами та машинами Тюрінга полягає в наступному

1. Кожна машина Тьюрінга приймає рівно одну мову

2. Може бути кілька машин Тьюрінга, які приймають дану мову

3. Можливо, не існує машини Тьюрінга, яка б приймала дану мову.

Ми можемо сказати приблизно те саме про алгоритми та проблеми: кожен алгоритм вирішує одну проблему, але алгоритмів, що вирішують задану проблему, може бути 0, або багато.

Часова складність : Одне з найпоширеніших джерел плутанини між алгоритмами та проблемами стосується класів складності. Правильний розподіл можна підсумувати так:

• Алгоритм має складність у часі
• Проблема належить до класу складності

$f(n)$$f(n)$$n$

Проблеми не мають часу виконання, оскільки проблема не пов'язана з певним алгоритмом, який фактично працює. Натомість ми говоримо, що проблема належить до класу складності, якщо існує якийсь алгоритм, що вирішує цю проблему із заданою часовою складністю.

$\mathsf{P}, \mathsf{NP}, \mathsf{PSPACE}, \mathsf{EXPTIME}$$\mathsf{P}$$X$$X$$\mathsf{P}$$X$$X$$\mathsf{P}$