Нижня межа для знаходження kth найменшого елемента за допомогою аргументів противника

У багатьох текстах нижня межа знаходження го найменшого елемента виведена з використанням аргументів за допомогою медіанів. Як я можу знайти його за допомогою супротивного аргументу?$k$

У Вікіпедії сказано, що алгоритм турніру працює в , а буде дано , як нижня межа.n - k + ∑ n j = n + 2 - k ⌈ $O(n+k\log n)$$n - k + \sum_{j = n+2-k}^{n} \lceil{\operatorname{lg}\, j}\rceil$

Я коротко викладу ескіз суперечливого аргументу.

Розглянемо свій алгоритм вибору, що грає проти опонента, якого ми будемо називати противником. Метою супротивника є надання вхідного сигналу для вашого алгоритму, який максимізує кількість операцій порівняння, виконаних вашим алгоритмом. Дійсно, ваш алгоритм можна розглядати як дерево порівняння, в якому шлях відповідає частковому порядку. Коли алгоритм запитує противника про пару елементів, супротивник повертає або або . Відповіді противника ніколи не можуть суперечити попереднім результатам.$X$$(x, y)$$x < y$$y < x$

Припустимо, що -й найбільший елемент : враховуючи частковий порядок, пов'язаний з будь-яким листом дерева порівняння, то повинен бути порівнянним з будь-яким іншим елементом, щоб алгоритм був правильним, щоб алгоритм повинно було зробити хоча б одне порівняння , результат якого або або . Назвіть таке порівняння вирішальним для елемента . Очевидно, що противник хоче максимально збільшити кількість неважливих порівнянь, зроблених вашим алгоритмом.$k$$x^*$$x^*$$(y, z)$ $\forall y \neq x^*$$y < z \leq x^*$$x^* \leq z < y$y$y$

Нехай - сукупність найбільших елементів; ваш алгоритм повинен правильно ідентифікувати всі елементи в а також найбільший елемент у , тобто . Зауважте, що кожен елемент у втратив щонайменше одне вирішальне порівняння. Тепер у противника є стратегія, яка змушує кожен з елементів у виграти принаймні порівняння, жодне з яка має вирішальне значення для . Додавання решти ключових порівнянь для$L$$k−1$$L$$X \setminus L$$x^*$$X \setminus L$$k - 1$$L$$\left\lceil {\lg \frac{n}{{k - 1}}} \right\rceil$$X \setminus L$$n - k$$X \setminus L$ви отримуєте нижню межу. Детальніше, будь ласка, прочитайте наступне, чудово, зазначає Джефф Еріксон .