Чи завершено головоломки "нуль один" NP-комплектацією?

Мене цікавить невеликий варіант плитки, головоломки «лобзик»: кожен край (квадратної) плитки позначений символом від , і дві плитки можуть бути розміщені поруч один до одного, якщо символ на лицьовому краю однієї плитки дорівнює k, а символ на лицьовому краю іншої плитки - ˉ k , для деяких k ∈ { 1 … n } . Потім, з урахуванням набору плиток m 2 , чи можна їх розмістити в m × $\{1\ldots n, \bar{1}\ldots\bar{n}\}$$k$$\bar{k}$$k\in\{1\ldots n\}$$m^2$$m\times m$квадрат (обертається, але не перевертає плитки), при цьому всі краї відповідають правильно? (Існує також варіант цієї проблеми, в якому чотири 'обрамлення' країв і шматки повинні правильно вміститися в цей кадр).$1\times m$

Я знаю, що ця проблема є NP-повною для достатньо великих , але межі, які я бачив на n, здаються досить великими; Мене цікавить проблема невеликих значень n і, зокрема, для n = 1 , випадок "нуль-один" (де кожне ребро позначено як " 0" чи " 1", а ребра з " 0" мають відповідати ребрам з " $n$$n$$n$$n=1$$0$$1$$0$$1$). Тут є (з обертовою симетрією) всього шість типів плитки (плитка з усіма нулями, плитка все-нулеві, плитка з трьома нулями і одна, плитка з трьома і нулем, і дві чіткі плитки з двома нулями і два, '0011' і '0101'), тому проблемний примірник - це лише специфікація і набір з п’яти чисел T 0000 , T 0001 , T 0011 , T 0101 , T 0111 і T 1111 (що представляє кількість кожного типу плитки) з T 0000 + T 0001 + T 0011 + $m$$T_{0000}$$T_{0001}$$T_{0011}$$T_{0101}$$T_{0111}$$T_{1111}$ . Очевидно, що проблема полягає в NP (з m, заданим унарним), оскільки рішення можна просто виставити, а потім перевірити в поліноміальному (в m ) часі, але чи відомо, що воно є NP-повним, чи є якийсь алгоритм динамічного програмування, який може застосовуватись тут? Що з випадком "обрамлення", коли специфікація проблеми включає також чотири ребра квадрата, які мають відповідати? (Очевидно, якщо безрамковий випадок є NP-завершеним, справа у кадрі майже напевно є також)$T_{0000}+T_{0001}+T_{0011}+T_{0101}+T_{0111}+T_{1111}=m^2$$m$$m$

Оскільки ви згадали, що зацікавлені у вирішенні цієї проблеми для малих значень , я б запропонував спробувати реалізувати це в SAT-рішувачі або у вигляді цілої лінійної програми (ILP). Будь-хто з них зможе кодувати обмеження, але дещо по-іншому:$n$

• Для SAT існує дуже чисте кодування вибору того, яка плитка переходить у кожен квадрат, і трохи менш чисте кодування обмеження щодо кількості кожного виду плитки (з використанням бітної арифметики).

• Для ILP існує дуже чисте кодування обмежень щодо кількості доступних типів плитки та трохи менш чисте кодування обмежень, на яких плитки можуть бути сусідніми одна з одною (але це все-таки виразно, оскільки ви можете виражати довільні булеві формули в ILP).

Я б очікувати , що для малого і середнього розміру , такий підхід може працювати ефективно.$n$