Покриття прямокутника по лінії зачистки

Мені дають вправу, на жаль, я сам не досяг успіху.

Існує набір прямокутників і прямокутник . Використовуючи алгоритм підмітання площини, визначте, чи повністю покритий набором .$R_{1}..R_{n}$$R_{0}$$R_{0}$$R_{1}..R_{n}$

Більш детально про принцип алгоритмів розгортки ліній див. Тут .

Почнемо з початку. Спочатку ми знаємо алгоритм розгортки ліній як алгоритм пошуку перетину відрізків ліній, який вимагає двох структур даних:

• набір точок подій (він зберігає кінцеві точки сегментів та точки перетину)$Q$
• статус (динамічна структура для безлічі сегментів, що перетинає лінію розгортки)$T$

Загальна ідея: припустимо, що лінія розгортки - це вертикальна лінія, яка починає наближатися до набору прямокутників зліва. Сортуйте всі координати прямокутників і зберігайте їх у у збільшенні - слід приймати . Почніть з першої точки події, для кожної точки визначте набір прямокутників, які перетинаються за заданою координатою, визначте безперервні відрізки прямокутників перетину та перевірте, чи повністю вони покривають у поточній координаті . Якщо як двійкове дерево, воно прийме . Якщо будь-яка частина залишається непокритою, це$l$$x$$Q$$O(n\log n)$$x$$R_{0}$$x$$T$$O(\log n)$$R_{0}$$R_{0}$ не повністю охоплений.

Деталі: Ідея алгоритму перетину сегментів полягала в тому, що перетинаються лише суміжні сегменти. На основі цього факту ми побудували статус і підтримували його протягом усього алгоритму. Я намагався знайти подібну ідею в цьому випадку, і поки що не мав успіху, єдине, що можу сказати, - це два прямокутники, що перетинаються, якщо їх відповідні координати та перетинаються.$T$$x$$y$

Проблема полягає в тому, як будувати і підтримувати , і то , що складність створення і підтримки є. Я припускаю, що R дерева можуть бути дуже корисними в цьому випадку, але, як я виявив, дуже важко визначити мінімальний обмежуючий прямокутник за допомогою R дерев.$T$$T$

Чи маєте ви якесь уявлення про те, як вирішити цю проблему, зокрема, як побудувати ?$T$

Почнемо з $n$прямокутники, вирівняні по осі, оскільки є своєрідний простий прямий аргумент. Ми підмітаємо вертикальну лінію. Події є кінцевими точками горизонтальних країв прямокутників. Під час підмітання ми підтримуємо набір інтервалів на лінії розгортки, які "розкриваються"$R_i$, $i\ge 1$:

• Додайте вертикальний інтервал, охоплений прямокутником $R_i$ до лінії розгортки, коли ми вперше стикаємося $R_i$
• Видаліть вертикальний проміжок, охоплений прямокутником $R_i$ від лінії розгортки, коли вона рухається повз $R_i$

Це легко зробити за допомогою бінарного дерева, щоб оновлення відбулися $O(\log n)$час. (По суті, проблема є одновимірною. Ви з'ясовуєте, чи кінцеві точки знаходяться в непокритому інтервалі, і розширюєте / об'єднуєте належним чином, додаючи та подовжуючи їх при видаленні.)

Тоді ви просто перевіряєте це в проміжок часу $R_0$, жоден із непокритих інтервалів ніколи не перетинає вертикальний проміжок $R_0$. Вся справа в цьому$O(n\log n)$ час $O(n)$ простір.

Для загального випадку очевидний трюк не настільки швидкий. Використовуйте стандартний алгоритм розгортки для обчислення всього плоского підрозділу, індукованого прямокутниками.

Ясно якийсь диск, як набір $F'$ лицьових кришок $R_0$. Сам по собі це не говорить нам достатньо, оскільки те, що нас цікавить, чи є якесь із цих облич всередині$R_0$і поза іншими прямокутниками. Для цього ми трохи модифікуємо конструкцію, щоб, додаючи край, позначити одну сторону ідентичністю прямокутника, який знаходиться всередині. Це додає$O(1)$ накладні, тому будівництво є $O(n^2\log n)$час; без припущень щодо прямокутників, вихід може бути$\Omega(n^2)$ за розміром, тому ми використовуємо стільки місця в гіршому випадку, тому час є "екзистенційно оптимальним", хоча і не "чутливим до виходу".

Нарешті, $R_0$ охоплюється до тих пір, поки жодне з облич $F'$ мають лише краї, не позначені як один із $R_i$. Справа в тому, що якщо край$f$ є в $R_i$, то весь $f$так само. Уявіть, як підмітаєте рядок$f$ ортогонально уздовж цього краю: він може лише вийти $R_i$ або поза межами $f$ або $f$ обмежена більш ніж одним краєм $R_i$.

Тож висновок такий, що особлива справа $O(n\log n)$ а загальне є $O(n^2\log n)$ принаймні, але я підозрюю, що це можна покращити.