Дерево Splay з непарною кількістю обертів

Під час вставлення елемента в дерево-поворот, обертання виконуються парами на основі зигзагоподібного або зиг-зигового малюнка. Коли має бути непарне число обертань, які слід виконати, можна було б зробити додаткове обертання, що починається на листі, або зберегти зайве обертання і зробити це в корені. Це важливо?

Наприклад, у додане зображення я вставляю 4 у BST і "приплющую" його до кореня. У верхній частині фігури я спочатку розміщую пару зіг-зиг у вузлі аркуша і виконую зігзаг зі знизу, залишаючи остаточне право обертання у корені. У нижній частині фігури я спочатку роблю непарне обертання, починаючи з листа, а потім виконую зиг-зиг до коріння.

Що правильно? Або обидва призведуть до звичайної вистави на грі?

Це дійсно не має значення для аналізу. Ключовою лемою для аналізу продуктивності дерева splay є лема доступу . У ньому зазначається, що амортизовані витрати операції splay (x) менші ніж$1+3(r(t)-r(x))$, де $t$ - корінь дерева і $r(u):=\lfloor \log (\text{weight of $u$'s subtree}) \rfloor$. Вага піддерева - це сума ваг його вузлів. (Ваги (позитивні) підбиратимуться залежно від застосування леми.) Використовувана потенційна функція є$\Phi(T)=\sum_{x \text{ node of } T} r(t)$.

Доказ лемми доступу розглядає витрати на одну операцію zig / zig-zig / zig-zig тощо. Ви отримуєте

1. Витрати на зиг або заг операції є $1+3(r_+(u) - r(u))$, де $r_+$ подзвонив після операції і $u$ - вузол, повернутий вгору.

2. Витрати на зиг-зиг / зигзаг та симетричні операції є $3(r_+(u) - r(u))$.

Якщо ви додаєте ці відмінності до операцій, що виконуються за один проміжок (x) , ви отримаєте суму телескопа, і що залишилося$1+3(r(t)-r(x))$.

Якщо змінити порядок обертів, ви отримаєте ту саму суму. Єдина відмінність полягає в тому, що тепер "+1" походить від першого обертання, а не від останнього обертання. Ви могли навіть зробити обертання зиг в середині. Весь подальший (класичний) аналіз спирається на лемму доступу.

Однак причиною того, що ви виконуєте одиночне обертання останньою, є те, що ви не знаєте, чи глибина вузла заздалегідь парна чи непарна.