Яке значення грані негативної ваги в графіку?

Я робив динамічні вправи з програмування і знайшов алгоритм Флойда-Варшалла. Мабуть, він знаходить цілі пари найкоротших шляхів для графіка, які можуть мати відмінні ваги, але ніяких негативних циклів.

Отже, мені цікаво, у чому полягає реальна світова значимість граней негативної ваги? Просте англійське пояснення було б корисним.

Saeed Amiri вже дав чудовий приклад у коментарі: вага на краях може представляти що-небудь у реальному світі, наприклад, кількість грошей, які потрібно перевести з одного рахунку на інший рахунок. Суми можуть бути позитивними чи негативними. Наприклад, якщо ви хочете перейти від до b у вашому графіку, втрачаючи якомога менше грошей (найкоротший шлях), то ви можете врахувати негативні ваги. Детальніше дивіться у цій книжковій главі .$a$$b$

Крім цього, є ще багато додатків. Від’ємні ваги залежать від того, яким ти її моделюєш. Наприклад, розглянемо цей графік

• $e_{uv}$$v$$u$$4$$s-a$$2$$a$$t$$5$$s$$t$

• $s$$t$$a$$b$ (скажімо, подорожуючи між домом та робочим місцем).

• $b$$s$$a$$a$$t$$t$$s$

Я не хлопець з хімії, але все ж я думаю, що цей приклад буде вартим, щоб допомогти вам придумати процесор, теорію мережі та подібні речі.

Розглянемо графік, що імітує поведінку молекули в хімічній реакції, тобто шляхи, які вона може пройти під час реакції та ваги, представляє енергію, поглинуту або звільнену при переході, тому, якщо ми хочемо, щоб енергія виходила з реакції, ми представляємо вивільнену енергію з + вагами та поглинаною енергія з -ве.

Негативний край - це просто край, що має негативну вагу. Це може бути в будь-якому контексті, що стосується графіка, і про які його краї посилаються. Наприклад, крайовий компакт-диск у наведеному вище графіку є негативним краєм. Floyd-Warshall працює, зменшуючи вагу між кожною парою графіка, якщо це можливо. Отже, для від'ємної ваги ви можете просто виконати розрахунок, як це було б зроблено для позитивних ваг.

Проблема виникає при негативному циклі. Погляньте на наведений графік. І задайте собі питання - який найкоротший шлях між А і Е? Ви можете спершу відчути, ніби його вартість ABCE коштує 6 (2 + 1 + 3). Але насправді, поглибивши погляд, ви б спостерігали негативний цикл, який є BCD. Вага BCD дорівнює 1 + (- 4) +2 = (-1). Під час проїзду від А до Е, я міг продовжувати їздити на велосипеді всередині BCD, щоб кожен раз знижувати вартість на 1. Мовляв, шлях A (BCD) BCE коштує 5 (2 + (- 1) + 1 + 3). Тепер повторення циклу нескінченних разів дозволить зменшити витрати на 1 раз. Я міг би досягти негативного нескінченного найкоротшого шляху між А та Е.

Проблема очевидна для будь-якого негативного циклу в графіку. Отже, щоразу, коли присутній негативний цикл, мінімальна вага не визначається або є негативною нескінченністю, тому Флойд-Варшалл не може працювати в такому випадку.

Крім того, ви можете поглянути на алгоритм Беллмана-Форда, який визначає, чи має графік негативний цикл чи ні, інакше поверне найкоротший шлях між двома вузлами.

Наприклад, уявіть логістичну мережу, де вага w (i, j) ребра ij - це вартість переходу від вершини i до вершини j. Якщо ви уклали ділову угоду з іншими компаніями про транспортування своєї продукції, w (i, j) буде прибуток замість собівартості, тому ви можете трактувати цю вагу як негативну вартість.

Затори на карті на карті:

Ще одним реальним прикладом асоціації ваг до краю може бути те, що ваги представляють умови руху на карті (більш негативні, більш несприятливі) - ми могли б використовувати це подання для обчислення оптимальних відстаней.

Ми можемо реально використовувати метафору "ваги" для відображення будь-якого позитивного / негативного значення між будь-якими двома точками в графіку