Факторний алгоритм більш ефективний, ніж наївне множення

Я знаю, як кодувати фабрикатори, використовуючи як ітераційні, так і рекурсивні (наприклад, n * factorial(n-1)наприклад). Я читав у підручнику (без подальших пояснень), що існує ще більш ефективний спосіб кодування фабрикантів, розділивши їх навпіл рекурсивно.

Я розумію, чому так може бути. Однак я хотів спробувати кодувати це самостійно, і я не думаю, що знаю, з чого почати. Друг запропонував спочатку написати базові випадки. і я думав використовувати масиви, щоб я міг відслідковувати числа ... але я дійсно не бачу жодного виходу для створення такого коду.

Які методи я повинен досліджувати?

Найкращий алгоритм, який відомий - це виражати факторіал як продукт первинних сил. За допомогою ситового підходу можна швидко визначити праймери, а також правильну потужність для кожного праймера. Обчислення кожної потужності можна зробити ефективно, використовуючи повторне квадратування, і тоді множники множать разом. Це описав Пітер Б. Борвейн, Про складність обчислення факторів , Журнал алгоритмів 6 376–380, 1985. ( PDF ) Коротше кажучи, $n!$можна обчислити за час $O(n(\log n)^3\log \log n)$ , порівняно з $\Omega(n^2 \log n)$ час, необхідний при використанні визначення.

Можливо, підручник мав на увазі метод ділення і перемоги. Можна зменшити множення $n-1$ , використовуючи звичайний зразок продукту.

Нехай позначають 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋯ ( 2 n - 1 ) як зручне позначення. Переставіть коефіцієнти ( 2 n ) ! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋯ ( 2 n ) як ( 2 n ) ! = n ! ⋅ 2 n ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋯ ( 2 n $n?$$1 \cdot 3 \cdot 5 \dotsm (2n-1)$$(2n)! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \dotsm (2n)$ Тепер припустимо, що n = 2 k для деякого цілого числа k > 0 . (Це корисне припущення, щоб уникнути ускладнень у наступному обговоренні, і ідею можна поширити на загальну п .) Тоді ( 2 к ) ! = ( 2 к - 1 ) ! 2 2 к - 1 ( 2 к - 1 ) ? і розширивши цю повторюваність, ( 2 к ) !

$$(2n)! = n! \cdot 2^n \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \dotsm (2n-1).$$ $n = 2^k$$k>0$$n$$(2^k)! = (2^{k-1})!2^{2^{k-1}}(2^{k-1})?$ Обчислювальна техніка( 2 к - 1 ) $$(2^k)! = \left(2^{2^{k-1}+2^{k-2}+\dots+2^0}\right) \prod_{i=0}^{k-1} (2^i)? = \left(2^{2^k - 1}\right) \prod_{i=1}^{k-1} (2^i)?.$$ $(2^{k-1})?$а множення часткових добутків на кожному етапі займає множення. Це поліпшення коефіцієнта майже 2 від 2 k - 2 множення лише за допомогою визначення. Для обчислення потужності 2 потрібні деякі додаткові операції , але у двійковій арифметиці це можна зробити дешево (залежно від того, що саме потрібно, може знадобитися просто додавання суфікса 2 к - 1 нулі).$(k-2) + 2^{k-1} - 2$$2$$2^k-2$$2$$2^k-1$

У наведеному нижче коді Ruby реалізована спрощена версія цього. Це не уникає перерахунку навіть там, де це можна зробити:$n?$

def oddprod(l,h)
  p = 1
  ml = (l%2>0) ? l : (l+1)
  mh = (h%2>0) ? h : (h-1)
  while ml <= mh do
    p = p * ml
    ml = ml + 2
  end
  p
end

def fact(k)
  f = 1
  for i in 1..k-1
    f *= oddprod(3, 2 ** (i + 1) - 1)
  end
  2 ** (2 ** k - 1) * f
end

print fact(15)

Навіть цей код першого проходу поліпшується на дрібниці

f = 1; (1..32768).map{ |i| f *= i }; print f

приблизно на 20% в моєму тестуванні.

Додавши трохи роботи, це можна вдосконалити ще більше, також усуваючи вимогу, щоб була потужністю 2 (див. Широке обговорення ).$n$$2$

Майте на увазі, що факторна функція зростає так швидко, що вам знадобляться цілі числа довільного розміру, щоб отримати будь-яку користь від більш ефективних методик, ніж наївний підхід. 21-й фактор вже занадто великий, щоб вміститися в 64-бітний unsigned long long int.

$n!$$n$

$\Theta(|a| \cdot |b|)$$|x|$$x$$\Omega(|a| + |b|)$$\max(|a|,|b|)$

На озброєнні цим фоном стаття у Вікіпедії повинна мати сенс.

Оскільки складність множення залежить від величини цілих чисел, які перемножуються, ви можете заощадити час, упорядкувавши множення в порядку, який забезпечує, щоб числа не перемножувались малими. Це виходить краще, якщо ви домовитеся, щоб номери були приблизно однакового розміру. "Розділення навпіл", на яке посилається ваш підручник, складається з наступного підходу ділити і перемагати для множення (множинного) набору цілих чисел:

1. Впорядкуйте числа, які потрібно помножити (спочатку всі цілі числа від до ) у два набори, добуток яких приблизно однакового розміру. Це набагато дешевше, ніж робити множення:(одне машинне додавання).п | a ⋅ b | ≈ | а | + | б $1$$n$$|a \cdot b| \approx |a| + |b|$
2. Застосовуйте алгоритм рекурсивно до кожної з двох підмножин.
3. Помножте два проміжні результати.

Детальнішу інформацію див. У посібнику GMP .

Існують ще більш швидкі методи, які не лише переставляють коефіцієнти на але розбивають числа, розкладаючи їх на їх основну факторизацію та переставляючи отриманий дуже довгий добуток здебільшого-малих цілих чисел. Я просто наводжу посилання зі статті Вікіпедії: «Про складність обчислення факторів» Пітера Борвейна та реалізацій Петра Лучного .$1$$n$

¹ _{Є більш швидкі способи обчислення наближень по, але це вже не обчислення факторіалу, а обчислення його наближення.$n!$}

Оскільки факторна функція зростає так швидко, ваш комп'ютер може зберігати лишедля відносно невеликих . Наприклад, подвійний може зберігати значення до. Тож якщо ви хочете по-справжньому швидкий алгоритм обчислення, просто використовуйте таблицю розміром .n 171 ! н ! $n!$$n$$171!$$n!$$171$

Питання стає цікавішим, якщо вас цікавить Або функція (або ). У всіх цих випадках (включаючи ) Я не дуже розумію коментар у вашому підручнику.Γ log Γ n $\log(n!)$$\Gamma$$\log \Gamma$$n!$

На додаток, ваш ітеративний та рекурсивний алгоритми рівнозначні (аж до помилок з плаваючою комою), оскільки ви використовуєте хвостову рекурсію.