Час виконання оптимального жадібного

16

$|P| = n$ $k$ $k$ $n$ $C = \{ c_1,c_2,\ldots,c_k\}$ $k$ $\text{cost}(C) = \max_i \min_j D(p_i, c_j)$ $D$ позначає евклідову відстань між вхідною точкою та центральною точкою . Кожна точка присвоює собі найближчий центр кластера, групуючи вершини в різних кластерів. $p_i$ $c_j$ $k$

Проблема відома як (дискретна) проблема кластеризації, і вона -тверда. Це може бути показано зменшенням від -повної домінуючої заданої задачі, що якщо існує алгоритм апроксимації для задачі з то . $k$ $\text{NP}$ $\text{NP}$ $\rho$ $\rho < 2$ $\text{P} = \text{NP}$

Оптимальний алгоритм апроксимації дуже простий та інтуїтивний. Один перший вибирає точку довільно і поміщає його в безлічі кластерних центрів. Потім вибирають наступний центр кластера таким, який знаходиться якнайдалі від усіх інших центрів кластерів. Тож поки , ми неодноразово знаходимо точку , для яких відстань максимізує і додати його в . Раз ми закінчили. $2$ $p \in P$ $C$ $|C| < k$ $j \in P$ $D(j,C)$ $C$ $|C| = k$

Не важко помітити, що оптимальний жадібний алгоритм працює в час. Це викликає питання: чи можемо ми досягти часу? Наскільки краще ми можемо зробити? $O(nk)$ $o(nk)$

algorithms computational-geometry

— Джухо
джерело

7

Проблему можна реально розглядати геометрично таким чином, що ми хотіли б охопити точок кулями, де радіус найбільшої кулі мінімізований. $V$ $k$

дійсно досить просто досягти, але можна зробити і краще. Федер та Грін, Оптимальні алгоритми для приблизної кластеризації, 1988 р.Досягають часу роботи використовуючи більш розумні структури даних і далі показують, що це оптимально в алгебраїчній дереві рішень. $O(nk)$ $\Theta(n \log k)$

— Джухо
джерело

1

Моє запитання: Чи існує спосіб, як я можу змусити жадну стратегію збору виконуватись в час? $o(|V|^2)$

Мені здається, ви це описали. Якщо я прочитав занадто далеко у вашому описі, ось що я зрозумів. Мати асоціативну структуру даних , яка б пов'язала кожен елемент з сумою відстані до елементів . Цю структуру даних можна ініціалізувати за вартістю з відстанню до . Отримана складність - $V$ $S$ $O(|V|)$ $p$ і ця ініціалізація може створити наступний елемент як побічний ефект, не збільшуючи складність. Він може бути оновлений після вибору нового елемента вартістю , знову виробляючи наступний елемент як побічний ефект. Повторіть, щоб отримати $O(|V|)$ $S$ . $O(k |V|)$

— AProgrammer
джерело

1

Але зверніть увагу на обмеження на

: у гіршому випадку він може бути таким же великим, як

. Я підозрюю, що існують структури даних, які досягають ще кращих меж, але я справді не знаю.

k

$k$

| V |

$|V|$

— Juho

На жаль,

а не

ваше запитання. (Зверніть увагу, що у своєму запитанні ви повернулися до

, тому це повинно бути вдосконаленням). Те, що я пропоную, не використовує той факт, що ви працюєте в евклідовому просторі, я думаю, вам доведеться використовувати це, щоб зробити краще, але наразі я не розумію як.

o

$o$

O

$O$

k^{3}

$k^3$

— AProgrammer