"Щільні" регулярні вирази породжують

Ось припущення щодо регулярних виразів:

Для регулярного виразу нехай довжина | R | бути кількістю символів у ньому, ігноруючи круглі дужки та оператори. Наприклад | 0 ∪ 1 | = | ( 0 ∪ 1 ) ∗ | = $R$$|R|$$|0 \cup 1| = |(0 \cup 1)^*| = 2$

Концепція: Якщо і L ( R ) містить кожен рядок довжиною | R | або менше, тоді L ( R ) = Σ ∗ .$|R| > 1$$L(R)$$|R|$$L(R) = \Sigma^*$

Тобто, якщо є «щільним» до R довжини «s, то R фактично виробляє все.$L(R)$$R$$R$

Деякі речі, які можуть бути актуальними:

1. Для створення всіх рядків потрібна лише невелика частина Наприклад , в двійковому вигляді , R = ( 0 ∪ 1 ) * ∪ S буде працювати для будь-якого S .$R$$R = (0 \cup 1)^* \cup S$$S$
2. У якийсь момент повинна бути зірка Клінова в Якщо цього немає, він пропустить рядок розміром менше | R | .$R$$|R|$

Було б непогано побачити доказ чи контрприклад. Чи є випадок, коли явно неправильно те, що я пропустив? Хтось бачив це (чи щось подібне) раніше?

Кіт Еллул, Брайан Кравець, Джеффрі Шалліт та Мінг-Вей Ван у вашій думці спростовуються у своїй праці "Регулярні вирази: нові результати та відкриті проблеми". Поки папір недоступний в режимі он-лайн, йдеться про розмову .

У роботі вони визначають міру , яка є кількістю символів у R , не рахуючи ϵ або ∅ . Однак ∅ можна усунути з кожного виразу, не генеруючи порожню мову, і вираз можна "очистити", щоб число ϵ, яке він містить, було щонайбільше | a l p h ( R ) | (Лема на сторінці 10 бесіди).$|\mathrm{alph}(R)|$$R$$\epsilon$$\emptyset$$\emptyset$$\epsilon$$|\mathrm{alph}(R)|$

На сторінці 51 для кожного вони будують регулярний вираз розміром O ( n ) понад { 0 , 1 }, який генерує всі рядки розміром не більше Ω ( 2 n n ) , але не створює всіх рядків. Зауважте, що "розмір" тут є і у вашому розумінні, і в їхньому розумінні, оскільки ми використовуємо нотацію big-O. Вони також ставлять відкрите питання, щоб знайти найкращу залежність між двома параметрами.$n \geq 3$$O(n)$$\{0,1\}$$\Omega(2^n n)$