Всі проблеми NP зводиться до NP-повних проблем: то як же проблеми NP не можуть бути неповними NP?

Моя книга констатує це

• Якщо проблема рішення B знаходиться в P, а A зменшується до B, то задача рішення A знаходиться в P.
• Проблема рішення B є повною NP, якщо B знаходиться в NP, а для кожної проблеми в A в NP A зменшується до B.
• Проблема рішення C є NP-повною, якщо C знаходиться в NP, а для деякої задачі, повної NP, B, B зменшується до C.

Тож мої запитання є

1. Якщо B або C є NP-повним, і всі проблеми в NP зводяться до NP-повної проблеми, використовуючи перше правило, як будь-яка проблема NP не може бути NP повною?
2. Якщо A зменшується до B, чи B зменшується до A?

Якщо A зменшується до B, чи B зменшується до A?

Ні. Для насправді надуманого прикладу, будь-яка можлива обчислювальна задача A зводиться до проблеми зупинки: просто введіть як введення алгоритм, який вирішує проблему A, але з while(true)відміткою в кінці після істинного чи помилкового випадку. Однак ми знаємо, що проблема зупинки не обчислюється, тому її не можна звести до жодного такого алгоритму А.

Основна ідея полягає в тому, що якщо є скорочення від A до B, ви можете дізнатися, що B принаймні так важко вирішити, ніж A, і потрібен алгоритм, який принаймні настільки ж потужний.

Отже, якщо проблема A зводиться до легкої задачі B, тоді ми можемо вивести A легко (оскільки скорочення дає нам ефективний алгоритм), і якщо важка проблема A зводиться до задачі B, ми можемо зробити висновок, що B також важкий ( оскільки якби B було легко, то A теж було б легко). Однак все ще існує можливість зробити дурне скорочення від простої до важкої проблеми, але в цьому випадку ми не можемо зробити жодних висновків.

Якщо B або C знаходиться в NP Complete, а вся проблема в NP зводиться до проблеми NP Complete, використовуючи перше правило, то як будь-яка проблема NP не може бути NP повною?

Перше правило стосується проблем П. Це не має нічого спільного з повнотою НП. Якщо проблема А - NP Повна, а проблема B зменшується до A, це не означає, що B є NP Complete.

Якщо A зменшується до B, чи B зменшується до A?

Як правило, ні.

У мене є лише основна ідея щодо проблем NPC та NP. Але все, що я хочу прокоментувати, - це про те, що "Якщо A зменшено до B, то B зменшиться до A?"

Просто розглянемо множину A, що містить {2,3,4,5} елементів, і B, що містить {3,4}. Отже, A можна зменшити до B. Але B не можна звести до A. Натомість B можна розширити до A, якщо B набере {2,5} елементів.

Але якщо A і B мають однакове. тоді A можна зменшити до B або B можна зменшити до A.