Закриття проти правого коефіцієнта з фіксованою мовою

Я дуже люблю вашу допомогу з наступним:

Для будь-якого фіксованого мені потрібно вирішити, чи є закриття під такими операторами:$L_2$

1. $A_r(L)=\{x \mid \exists y \in L_2 : xy \in L\}$

2. .$A_l(L)=\{x \mid \exists y \in L : xy \in L_2\}$

Відповідні варіанти:

1. Регулярні мови закриваються відповідно до . A r , для будь-якої мови L $A_l$$A_r$$L_2$

2. Для деяких мов звичайні мови закриті відповідно до A l . A r , а для деяких мов L 2 звичайні мови не закриті відповідно до A l resp. А р .$L_2$$A_l$$A_r$$L_2$$A_l$$A_r$

Я вважав, що відповідь на (1) має бути (2), тому що, коли я отримую слово в і w = x y, я можу створити автомат, який може здогадатися, де x звертається до y , але тоді це потрібно перевірити що y належить до L 2, і якщо це не буде регулярним, як би це зробити? Відповідь на це - (1).$w \in L$$w=xy$$x$$y$$y$$L_2$

Що мені робити, щоб правильно проаналізувати ці оператори та визначити, чи закриті регулярні мови під ними чи ні?

$L_2$$L_2$

$A_l(L)$$L_2$$L=\{\varepsilon\}$

$L$$L=\{\varepsilon\}$$L=\Sigma^*$

$A_r$$A_r$$L_2$$L_2$

$A_r(L)$$L_2$

$L_2$$A(L)$

$L$$DFA_L$$x$$q$$y\in L_2$$q$$y$$DFA_L$$y$$L_2$$q$$DFA_{A_L}$$y\in L_2$$q$$y$$DFA_L$

$DFA_{A_L}$$DFA_L$$q$$y\in L_2$$y$$q$$DFA_L$

$L_2$$L_2$

Я не впевнений, шукаєте ви відповідь на проблему чи ні, тому я не надаю її безпосередньо. (Я можу, якщо ви цього хочете.)

Ти запитав:

Що мені робити, щоб правильно проаналізувати ці оператори та визначити, чи закриті регулярні мови під ними чи ні?

$L_2$

• $L$
• $L$$L_2$$A_x$

(і якщо один підхід не працює, ви завжди можете спробувати інший.)

Для самої проблеми:

$A_l(L) = L_2 / L$$A_r(L) = L / L_2$$L_2$

$A_r$$A_l$$A_l$$L_2$$L_2$$A_l$$L_2$$A_l$$A_l$ $L_2$