Достатня та необхідна умова щодо регулярності мови

Яке з наведених тверджень є правильним?

1. існують достатні та необхідні умови щодо регулярності мови, але ще не виявлені.

2. Немає достатньої та необхідної умови щодо регулярності мови.

3. Накачана лема - необхідна умова нерегулярності мови.

4. Накачана лема є достатньою умовою нерегулярності мови.

Я знаю, що # (4) є правильним, а # (3) - хибним, оскільки "зворотність цього твердження не відповідає дійсності: мова, яка відповідає цим умовам, все ще може бути нерегулярною", але що можна сказати про (1) та (2)?

Ось деякі необхідні та достатні умови, щоб мова була регулярною.

Теорема. Нехай . Наступні умови еквівалентні:$L\subseteq\Sigma^*$

• $L$ породжується регулярним виразом (тобто визначенням регулярної мови).
• $L$ розпізнається недетермінованим кінцевим автоматом ( Kleene ).
• $L$ розпізнається недетермінованим кінцевим автоматом без -переходів.$\varepsilon$
• $L$ розпізнається детермінованим кінцевим автоматом ( Скотт і Рабін ).
• ( N , Σ , P , S ) N Σ $L$ породжується граматикою , де - кінцевий підмножина ( Frazier і Page ).$(N,\Sigma,P,S)$$N$$\Sigma^*$
• $L$ породжується лівою (відповідно правою) регулярною без контексту граматикою.
• Індекс відношення Нерода є кінцевим (Аніл Нерод, Лінійні автоматичні перетворення , 1958). Це широко (і неправильно) відоме як теорема Міхілла-Нерода. - відношення, яке використовується для побудови мінімальної DFA звичайної мови.≡ $\equiv_L$$\equiv_L$
• Індекс відношення є кінцевим (John Myhill, Finite Automata and Представлення подій , 1957). - відношення, яке використовується для побудови синтаксичного моноїда довільної мови.∼ $\sim_L$$\sim_L$
• Синтаксичний моноїд кінцевий (наслідок результату Міхілла). Тут зауважимо, що синтаксичний моноїд, окрім того, що визначається за допомогою відношення , може бути визначений як мінімальний моноїд (за розміром), який розпізнає як перевагу гомоморфізму.∼ L$L$$\sim_L$$L$
• $L$ може бути розпізнаний машиною Тьюрінга (лише тривіальною).
• $L$ можна визначити за формулою в монадійській логіці другого порядку над рядками ( Büchi ).

Якщо мова не відповідає умовам викачувальної леми для звичайних мов , вона не є регулярною. Це означає, що викачування леми є достатньою умовою нерегулярності мови.

Підсумовуючи це, висловлювання 1, 2 і 3 є помилковими, тоді як твердження 4 - істинним, як ви згадували.

Досить (і необхідно) показати існування DFA, NFA або регулярного вираження, щоб довести, що мова є регулярною, що спростовує (1) і (2). Щоб показати, що мова не є регулярною, потрібно показати, що DFA, NFA або регулярний вираз не існує.

Лемма накачування є корисним інструментом, щоб показати (можливо, протиріччя), що мова не є регулярною, показавши, що не існує DFA.

Умова "існує регулярний вираз, який генерує точно ", є необхідною і достатньою умовою регулярності мови , за благодаттю її визначення.$L$$L$

Однак ця умова не дозволяє легко довести нерегулярність мови. Мені невідомі будь-які умови, які легко перевірити, які завжди доводять нерегулярність мови, що не є регулярною.

Є ще два "тести", які можуть довести нерегулярність мови (хоча вони можуть не працювати): ви можете спробувати надати звичайну мову таким чином, щоб їх об'єднання / перехрестя / різниця / конкатенація / коефіцієнт було нерегулярним ( таких операцій є більше), і ви можете спробувати порахувати, скільки слів генерується, і перевірити, чи суперечить він вираженню кількості слів у звичайній мові (як це можна знайти на пов’язаній вами сторінці Вікіпедії).

Існує цей чудовий зв’язок між теорією формальної мови та формальною силою серії, що підтверджується Хомським та Шютценбергером [CS63] . У формі, знайденій у [SS78] гл. II, теорема 5.1

$L$$\mathbb{K}$$\mathrm{char}(L)$$\mathbb{K}$

$\mathrm{char}(L)$

[SS78] Арто Саломаа та Матті Соіттола. Автоматично-теоретичні аспекти формальної енергетичної серії. Спрингер-Верлаг, Нью-Йорк, 1978.

[CS63] Ноам Хомський та Марсель П. Шютценбергер. Алгебраїчна теорія без контекстних мов. У П. Брафорт та Д. Гіршберг, редактори, Комп'ютерне програмування та формальні мови, сторінки 118–161. Північна Голландія, 1963 рік.

$I_{L}$$x$$y$$x I_{L} y$

1. $z_{x}$$xz_{x} \in L$$yz_{x} \in L$
2. $z_{y}$$yz_{y} \in L$$xz_{y} \in L$

$I_{L}$$L$

$I_{L}$