Як перевірити, чи багатокутник є однотонним щодо лінії?

10

Добре відомо, що одноманітні багатокутники відіграють вирішальну роль у триангуляції полігонів .

Визначення: Багатокутник у площині називається монотонним відносно прямої , якщо кожна пряма, прямокутна на перетинає не більше ніж удвічі. $P$ $L$ $L$ $P$

Враховуючи лінію та багатокутник , чи існує ефективний алгоритм для визначення того, чи є багатокутник однотонним щодо ? $L$ $P$ $P$ $L$

algorithms computational-geometry

— ком
джерело

10

Підказка: Узагальнений простий багатокутник є монотонним щодо осі якщо і лише тоді, коли він має рівно одну вершину, -координат якої менший, ніж у сусідів. Це спостереження одразу підказує алгоритм часу , принаймні, якщо жоден край вашого багатокутника не є вертикальним. $x$ $x$ $O(n)$

Спойлери Ahoy:

IsMonotone (X [0..n-1], Y [0..n-1])
    local_mins ← 0
    для i ← 0 до n-1
        якщо (X [i] <X [i + 1 mod n]) і (X [i] <X [i-1 mod n])
            local_mins ← local_mins + 1
    повернення (local_mins = 1)

Якщо ви переживаєте, що ваш багатокутник може мати вертикальні краї, використовуйте наступну підпрограму замість порівняння X[i] < X[j]для послідовного розриву зв’язків:

IsLess(X, i, j):
    return ((X[i] < X[j]) or (X[i] = X[j] and i < j))

Нарешті, якщо - якийсь інший рядок форми , змініть наступним чином: $L$ $ax+by=c$ IsLess

IsLess(X, Y, i, j):
    Di ← a·X[i] + b·Y[i]
    Dj ← a·X[j] + b·Y[j]
    return ((Dj < Dj) or (Di = Dj and i < j))

— JeffE
джерело

1

Ось більш неформальне, високорівневе та, сподіваємось, інтуїтивне пояснення алгоритму, щоб перевірити, чи багатокутник є "горизонтально монотонним", тобто стосовно осі . $x$

Знайдіть крайню ліву і праву вершини (тобто вершини багатокутника з відповідно min і max -координатом) за час (тобто просто повторіть один раз список вершин). $x$ $\mathcal{O}(n)$
Ці дві вершини розділяють межу полігона на дві криві: верхній і нижній ланцюг.
Пройдіться зліва направо вздовж кожного ланцюга, переконавшись, що координати не зменшуються. Це займає час. $x$ $\mathcal{O}(n)$

— nbro
джерело