Обмежена версія проблеми Clique?

Розглянемо наступну версію проблеми Clique, де вхід має розмір і нам пропонується знайти клік розміром . Обмеження полягає в тому, що процедура прийняття рішення не може змінити вхідний графік на будь-яке інше подання і не може використовувати будь-яке інше представлення для обчислення своєї відповіді, крім зайвих біт поза графіком введення. Додаткові біти можна використовувати, наприклад, в алгоритмі грубої сили для відстеження стану вичерпного пошуку кліку, але процедура прийняття рішення бажано використовувати їх будь-яким іншим способом, який все ще вирішує проблему. $n$ $k$ $\log(n^k)$

Чи відомо на даний момент про складність цього? Чи була зроблена якась робота над іншими обмеженнями Clique, і якщо так, чи можете ви направити мене на таку роботу?

complexity-theory time-complexity

— ShyPerson
джерело

Чи плануєте ви, щоб константа

була такою ж, як розмір

клики

k

$k$

\lg n^{k}

$\lg n^k$

k

$k$

— Лукас Кук

@LucasCook Так.

— ShyPerson

Це звучить так, що ви запитуєте, чи можна вирішити проблему, пов’язану з NP, повною в логарифмічному просторі. Використовуючи машини Тьюрінга, одна стрічка читається лише та зберігає вхідний графік. Інша стрічка обмежена так, щоб було доступно простір для деякої постійної . Клас задач, що вирішуються в цій моделі, відомий як , детермінований логарифмічний простір. (Дивіться вікіпедію чи зоопарк складності ) $c \lg n$ $c$ $L$

Невідомо, чи буде , але позитивна відповідь означатиме, що , тому ви (майже напевно?) Не знайдете відповіді. і означає , що тягне . $\mathrm{CLIQUE} \in L$ $P = NP$ $L \subseteq P \subseteq NP$ $\mathrm{CLIQUE} \in L$ $\mathrm{CLIQUE} \in P$ $P = NP$

Змініть, якщо я неправильно трактував проблему:

Якщо ви маєте намір, що в такий же, як розмір кліки (тобто кількість масштабів пам'яті з входом ), існує простий алгоритм грубої сили: ви можете провести циклічну перевірку через всі можливі набори вузлів і перевірити, чи утворюють вони -clique. Початковою точкою пошуку кращих рішень можуть бути посилання на [1]. $k$ $\lg n^k = k \lg n$ $k$ $k$ $k$ $k$

[1] Вірджинія Василевська, "Ефективні алгоритми для проблем із проблемами кліку" pdf-посилання

— Лукас Кук
джерело

L

$L$

N L

$NL$

G

$G$

k C L I Q U E

$\mathrm{kCLIQUE}$

P = N P

$\mathrm{P}= \mathrm{NP}$

@AlextenBrink Ви маєте на увазі, що kCLIQUE - це проблема функції? Я змінив ім'я на CLIQUE вище (я завжди їх плутаю!), Але мені дивно сказати, що kCLIQUE знаходиться в NP, якщо ви маєте на увазі проблему з функцією.

— Лукас Кук

Мається на увазі searchпроблема в цьому випадку.

— Лукас Кук

k C L I Q U E

$\mathrm{kCLIQUE}$

C L I Q U E

$\mathrm{CLIQUE}$

k

$k$

C L I Q U E

$\mathrm{CLIQUE}$

k

$k$

k

$k$

O (n^{k})

$O(n^k)$

k

$k$

k = Θ (n)

$k=\Theta(n)$