Який найшвидший алгоритм множення двох n-значних чисел?

Хочу знати, який алгоритм найшвидший для множення двох n-значних чисел? Космічну складність тут можна розслабити!

На сьогодні алгоритм Фюрера Мартіна Фюрера має складність у часі який використовує перетворення Фур'є на складні числа. Його алгоритм фактично заснований на алгоритмі Шенгаге та Страссена, який має часову складність Θ ( n log ( n ) log ( log ( n ) ) $n \log(n)2^{Θ(log*(n))}$$Θ(n\log(n)\log(\log(n)))$

Інші алгоритми, швидші за алгоритм множення школи класу, - це множення Карацуби, яке має складність у часі на ≈ O ( n 1.585 ) та алгоритм Toom 3, що має складність у часі Θ ( n 1.465$O(n^{\log_{2}3})$$O(n^{1.585})$$Θ(n^{1.465})$

Зауважте, що це швидкі алгоритми. Пошук найшвидшого алгоритму множення є відкритою проблемою в інформатиці.

Список літератури:

1. Алгоритм Фюрера
2. Множення великої кількості на основі FFT
3. Швидке перетворення Фур'є
4. Множення Toom – Cook
5. Алгоритм Шенгаге – Штрассена
6. Алгоритм Карацуби

Зауважте, що алгоритми FFT, перелічені avi, додають велику константу, що робить їх непрактичним для чисел, менших ніж тисячі + біт.

Окрім цього списку, є ще деякі цікаві алгоритми та відкриті запитання:

• Лінійне множення часу на моделі оперативної пам'яті (з попередньою обчисленням)
• $\mathcal{O}\left(\frac {n^2} {\log n} \right)$$1$$\mathcal{O}\left({n^2} \right)$$\mathcal{O}\left(\log n\right)$
• Система залишків номерів та інші представлення чисел; множення - майже лінійний час. Мінус полягає в тому, що множення є модульним, і {виявлення переливу, парність, порівняння величин} всі такі ж важкі або майже такі ж важкі, як перетворення числа назад у бінарне чи подібне подання та проведення традиційного порівняння; ця конверсія є принаймні такою ж поганою, як і традиційне множення (на даний момент, AFAIK).
  • Інші представництва:
    • $$16 \times 32 = 2^{\log_2 16 + \log_2 32} = 2^{4+5} = 2^{9}$$
      • Зворотний перехід до логарифмічного подання і з нього може бути таким же важким, як множення або складніше, подання також може бути дробовим / ірраціональним / приблизним тощо.
    • $$36 \times 48 = 3^2\cdot 5^1\times 2^{2}\cdot 3^1\cdot 4^1 = {2^2}\cdot {3^2} \cdot 4^1 \cdot 5^1$$
    • Нижня сторона - це потребує факторів чи факторизації - набагато складніша проблема, ніж множення. Інші операції, такі як додавання, ймовірно, дуже важкі.