Покажіть, як робити FFT вручну

Скажімо, у вас є два многочлени: $3 + x$ і $2x^2 + 2$ .

Я намагаюся зрозуміти, як FFT допомагає нам множити ці два многочлени. Однак я не можу знайти жодних відпрацьованих прикладів. Чи може мені хтось показати, як алгоритм FFT перемножував ці два многочлени. (Примітка. У цих поліномах немає нічого особливого, але я хотів би зробити його простим, щоб полегшити його слідування.)

Я переглянув алгоритми в псевдокоді, але всі вони, мабуть, мають проблеми (не вказуйте, яким повинен бути вхід, не визначені змінні). І дивно, що я не можу знайти, де хтось насправді пройшов (вручну) приклад множення поліномів за допомогою FFT.

algorithms fourier-transform divide-and-conquer

— лари
джерело

Вікіпедія зберігає це приємне зображення для цілого множення через FFT, але я думаю, що ще більш чіткий крок за кроком може бути корисним.

— Realz Slaw

Відповіді:

Припустимо, ми використовуємо четверте коріння єдності, яке відповідає підстановці $1,i,-1,-i$ для $x$ . Ми також використовуємо децимацію в часі, а не децимацію за частотою в алгоритмі FFT. (Ми також безпроблемно застосовуємо операцію обернення біту.)

Для того , щоб обчислити перетворення першого полінома, ми починаємо писати коефіцієнти:

3, 1, 0, 0.

$3,1,0,0.$ Перетворення Фур'є парних коефіцієнтів

3, 0

$3,0$ в

3, 3

$3,3$ і непарних коефіцієнтів

1, 0

$1,0$ є

1, 1

$1,1$ . (Це перетворення просто

a, b \mapsto a + b, a - b

$a,b \mapsto a+b,a-b$ .) Тому перетворення першого многочлена дорівнює

4, 3 + i, 2, 3 - i .

$4,3+i,2,3-i.$ Це отримують, використовуючи

X_{0, 2} = E_{0} \pm O_{0}

$X_{0,2} = E_0 \pm O_0$ ,

X_{1, 3} = E_{1} \mp i O_{1}

$X_{1,3} = E_1 \mp i O_1$ . (З подвійного обчислення фактора).

Зробимо те ж саме для другого многочлена. Коефіцієнти

2, 0, 2, 0.

$2,0,2,0.$ Парні коефіцієнти

2, 2

$2,2$ перетворюють на

4, 0

$4,0$ , а непарні коефіцієнти

0, 0

$0,0$ трансформують в

0, 0

$0,0$ . Тому перетворення другого многочлена дорівнює

4, 0, 4, 0.

$4,0,4,0.$

Ми отримуємо перетворення Фур'є в поліномі виробу шляхом множення двох перетворень Фур'є вгору:

16, 0, 8, 0.

$16, 0, 8, 0.$ Залишається обчислити зворотне перетворення Фур'є. Непарні коефіцієнти

16, 8

$16,8$ обернено-перетворюються на

12, 4

$12,4$ , а непарні коефіцієнти

0, 0

$0,0$ зворотні перетворюють на

0, 0

$0,0$ . (Зворотне перетворення дорівнює

x, y \mapsto (x + y) / 2, (x - y) / 2

$x,y \mapsto (x+y)/2,(x-y)/2$ ) Тому перетворення многочлена добутку дорівнює

6, 2, 6, 2.

$6,2,6,2.$ Це отримують, використовуючи

X_{0, 2} = (E_{0} \pm O_{0}) / 2

$X_{0,2} = (E_0 \pm O_0)/2$ ,

X_{1, 3} = (E_{1} \mp i O_{1}) / 2

$X_{1,3} = (E_1 \mp i O_1)/2$ . Ми отримали бажану відповідь

(3 + x) (2 + 2 x^{2}) = 6 + 2 x + 6 x^{2} + 2 x^{3} .

$(3 + x)(2 + 2x^2) = 6+2x+6x^2+2x^3.$

— Юваль Фільм
джерело

як ти прийшов у 6,2 6, 2?

— lars

Я дав формули:

, де

(

) є обернене перетворення парних (непарних) коефіцієнтів, отримане за формулою

X_{0, 2} = (E_{0} \pm O_{2}) / 2

$X_{0,2} = (E_0 \pm O_2)/2$

X_{1, 3} = (E_{1} \mp i O_{1}) / 2

$X_{1,3} = (E_1 \mp i O_1)/2$

E_{0}, E_{1}

$E_0,E_1$

O_{1}, O_{2}

$O_1,O_2$

. Подивіться, будь ласка, ще раз відповідь - всі розрахунки є.

x, y \mapsto (x + y) / 2, (x - y) / 2

$x,y \mapsto (x+y)/2,(x-y)/2$

— Yuval Filmus

Чому ви використовуєте парні коефіцієнти двічі? 3,3 -> 3,3,3,3. -> 3 + 1, 3-i, 3 + -1,3 - i?

— Aage Torleif

Як ці формули для

поширюються на більш високі ступені? Чи знаки плюс / мінус просто гортають? Наприклад, що було б для

X_{0, 2}

$X_{0,2}$

X_{1, 3}

$X_{1,3}$

X_{0, 2, 4}

$X_{0,2,4}$

— Боббі Лі

@BobbyLee Я рекомендую вам прочитати деяку літературу про FFT.

— Yuval Filmus

Визначте многочлени, де deg(A) = qі deg(B) = p. The deg(C) = q + p.

У цьому випадку deg(C) = 1 + 2 = 3.

A = 3 + x B = 2 x^{2} + 2 C = A * B = ?

$A = 3 + x \\ B = 2x^2 + 2 \\ C = A*B = ?$

Ми можемо легко знайти C в $O(n^2)$ час множинним множенням коефіцієнтів. Застосовуючи FFT (і зворотну FFT), ми могли б досягти цього за час $O(n\log(n))$ . Явно:

Перетворимо представлення коефіцієнта A і B у його значення. Цей процес називається оцінкою . Виконання ділення та перемоги (D&C) для цього потребує часу $O(n\log(n))$ .
Помножимо на компоненти багаточлени в їх представленні значення. Це повертає подання значення C = A * B. Це займе $O(n)$ час.
Інвертуйте C, використовуючи зворотний FFT, щоб отримати С у його представленні коефіцієнта. Цей процес називається інтерполяцією, і він також потребує часу $O(n\log(n))$ .

Продовжуючи далі, ми представляємо кожен многочлен як вектор, значення якого - його коефіцієнти. Забиваємо вектор 0 до найменшої потужності двох, $n = 2^k, n \geq deg(C)$ . При цьому $n = 4$ . Вибір потужності двох забезпечує нам спосіб рекурсивного застосування нашого алгоритму ділення і перемоги.

\begin{aligned} A = 3 + x + 0 x^{2} + 0 x^{3} \Rightarrow & \vec{a} = [3, 1, 0, 0] \\ B = 2 + 0 x + 2 x^{+} 0 x^{3} \Rightarrow & \vec{b} = [2, 0, 2, 0] \end{aligned}

$\begin{align} &A = 3+x+0x^2+0x^3 \Rightarrow &\vec{a} = [3, 1, 0, 0]\\ &B = 2+0x+2x^+0x^3 \Rightarrow & \vec{b} = [2, 0, 2, 0] \end{align}$

Нехай $A', B'$ - представлення значень A і B відповідно. Зверніть увагу , що БПФ (швидке перетворення Фур'є ) являє собою лінійне перетворення ( лінійне відображення ) і може бути представлено у вигляді матриці, $M$ . Таким чином

A^{'} = M \vec{a} B^{'} = M \vec{b}

$A' = M \overrightarrow{a} \\ B' = M \overrightarrow{b}$

Визначимо $M = M_n(\omega)$ де $\omega$ - складні корені $n^{th}$ складні корені єдності. Зауважте n = 4, у цьому прикладі. Також зауважте, що запис у рядку $j^{th}$ та $k^{th}$ - $\omega_n^{jk}$ . Детальніше про матрицю DFT див. Тут

M_{4} (w) = [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & . . . & 1 \\ 1 & ω^{1} & ω^{2} & . . . & ω^{n - 1} \\ 1 & ω^{2} & ω^{4} & . . . & . . . \\ . . . & . . . & . . . & ω^{j k} & . . . \\ 1 & ω^{n - 1} & ω^{2 (n - 1)} & . . . & ω^{(n - 1) (n - 1)} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & ω & ω^{2} & ω^{3} \\ 1 & ω^{2} & ω^{4} & ω^{6} \\ 1 & ω^{3} & ω^{6} & ω^{9} \end{matrix}]

$M_4(w) = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & ... & 1\\ 1 & \omega^1 & \omega^2 & ... & \omega^{n-1}\\ 1 & \omega^2 & \omega^{4} & ... & ... \\ ... & ... & ... & \omega^{jk} & ...\\ 1 & \omega^{n-1} & \omega^{2(n-1)} & ... & \omega^{(n-1)(n-1)} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 &1 \\ 1 &\omega & \omega^2 & \omega^3\\ 1 &\omega^2 & \omega^4 & \omega^6\\ 1 &\omega^3 & \omega^6 & \omega^9 \end{bmatrix}$

З огляду на коріння $\omega_4 = 4^{th}$ єдності, маємо впорядковану множину рівності:

{ω^{0}, ω^{1}, ω^{2}, ω^{3}, ω^{4}, ω^{5}, . . .} = {1, i, - 1, - i, 1, i, . . .}

$\{\omega^{0},\omega^1, \omega^2, \omega^3, \omega^4, \omega^5, ... \} = \{1, i, -1, -i, 1, i, ...\}$

Це можна візуалізувати як повторення через коріння одиничного кола у напрямку проти годинникової стрілки .

Також зауважте mod nприроду, тобто $\omega^6 = \omega^{6 \mod n} = \omega^{2} = -1$ і $-i = \omega^{3} = \omega^{3+n}$

Для виконання кроку 1 ( оцінювання ) знаходимо $A', B'$ , виконуючи

А^{'} = М * \vec{а} = [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & ω & ω^{2} & ω^{3} \\ 1 & ω^{2} & ω^{4} & ω^{6} \\ 1 & ω^{3} & ω^{6} & ω^{9} \end{matrix}] [\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 3 + 1 \\ 3 + 1 ω \\ 3 + ω^{2} \\ 3 + ω^{3} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 4 \\ 3 + i \\ 2 \\ 3 - i \end{matrix}] Б^{'} = М * \vec{б} = [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & ω & ω^{2} & ω^{3} \\ 1 & ω^{2} & ω^{4} & ω^{6} \\ 1 & ω^{3} & ω^{6} & ω^{9} \end{matrix}] [\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 2 + 2 \\ 2 + 2 ω^{2} \\ 2 + 2 ω^{4} \\ 2 + 2 ω^{6} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 4 \\ 0 \\ 4 \\ 0 \end{matrix}]

$A' = M * \vec{a} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 &1 \\ 1 &\omega & \omega^2 & \omega^3\\ 1 &\omega^2 & \omega^4 & \omega^6\\ 1 &\omega^3 & \omega^6 & \omega^9 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 + 1 \\ 3 + 1 \omega \\ 3 + \omega^2 \\ 3 + \omega^3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 3 + i \\ 2 \\ 3 - i \end{bmatrix} \\ B' = M * \vec{b} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 &1 \\ 1 &\omega & \omega^2 & \omega^3\\ 1 &\omega^2 & \omega^4 & \omega^6\\ 1 &\omega^3 & \omega^6 & \omega^9 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 + 2 \\ 2 + 2 \omega^2 \\ 2 + 2\omega^4 \\ 2 + 2\omega^6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 4 \\ 0 \end{bmatrix}$

Цього кроку можна досягти, використовуючи алгоритми D&C (за межами цієї відповіді).

Множення покомпонентно (крок 2) $A' * B'$

А^{'} * Б^{'} = [\begin{matrix} 4 \\ 3 + i \\ 2 \\ 3 - i \end{matrix}] [\begin{matrix} 4 \\ 0 \\ 4 \\ 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 16 \\ 0 \\ 8 \\ 0 \end{matrix}] = С^{'}

$A' * B' = \begin{bmatrix} 4 \\ 3 + i \\ 2 \\ 3 - i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 4 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 16 \\ 0\\ 8 \\ 0 \end{bmatrix} = C'\\$

Нарешті, останній крок - представити C 'на коефіцієнти. Зауважте

С^{'} = М \vec{c} \Rightarrow М^{- 1} С^{'} = М^{- 1} М \vec{c} \Rightarrow \vec{c} = М^{- 1} С^{'}

$C' = M \vec{c} \\ \Rightarrow M^{-1}C' = M^{-1} M \vec{c} \\ \Rightarrow \vec{c} = M^{-1}C'$

Помітка $M_n^{-1} = \frac{1}{n} M_n(\omega^{-1})$ ¹і $\omega^j = -\omega^{n/2 + j}$ .

М_{н}^{- 1} = \frac{1}{4} [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & ω^{- 1} & ω^{- 2} & ω^{- 3} \\ 1 & ω^{- 2} & ω^{- 4} & ω^{- 6} \\ 1 & ω^{- 3} & ω^{- 6} & ω^{- 9} \end{matrix}] = \frac{1}{4} [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & - i & - 1 & i \\ 1 & - 1 & 1 & - 1 \\ 1 & i & - 1 & - i \end{matrix}]

$M_n^{-1} = \frac{1}{4} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 &1 \\ 1 &\omega^{-1} & \omega^{-2} & \omega^{-3}\\ 1 &\omega^{-2} & \omega^{-4} & \omega^{-6}\\ 1 &\omega^{-3} & \omega^{-6} & \omega^{-9} \end{bmatrix} = \frac{1}{4} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & -i & -1 & i \\ 1 & -1 & 1 & -1\\ 1 & i & -1 & -i \end{bmatrix}$

$\omega^{-j}$ можна візуалізувати як повторення через коріння одиничного кола загодинниковою стрілкою.

{ω^{0}, ω^{- 1}, ω^{- 2}, ω^{- 3}, ω^{- 4}, ω^{- 5}, . . .} = {1, - i, - 1, i, 1, - i, . . .}

$\{\omega^{0},\omega^{-1}, \omega^{-2}, \omega^{-3}, \omega^{-4}, \omega^{-5}, ... \} = \{1, -i, -1, i, 1, -i, ...\}$

Також вірно, що з огляду на $n^{th}$ корінь єдності дотримується рівність $\omega^{-j} = \omega^{n-j}$ . (Ви бачите чому?)

Тоді

\vec{c} = М^{- 1} С^{'} = \frac{1}{н} М_{н} (ш^{- 1}) = \frac{1}{4} [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & - i & - 1 & i \\ 1 & - 1 & 1 & - 1 \\ 1 & i & - 1 & - i \end{matrix}] [\begin{matrix} 16 \\ 0 \\ 8 \\ 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} (16 + 8) / 4 \\ (16 - 8) / 4 \\ (16 + 8) / 4 \\ (16 - 8) / 4 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 6 \\ 2 \\ 6 \\ 2 \end{matrix}]

$\vec{c} = M^{-1}C' = \frac{1}{n} M_n(w^{-1}) = \frac{1}{4} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & -i & -1 & i \\ 1 & -1 & 1 & -1\\ 1 & i & -1 & -i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 16 \\ 0\\ 8 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (16 + 8) /4 \\ (16 - 8) /4 \\ (16 + 8) /4 \\ (16 - 8) /4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ 2\\ 6 \\ 2 \end{bmatrix}$

Таким чином, ми отримуємо многочлен

С = А * Б = 6 + 2 х + 6 х^{2} + 2 х^{3}

$C = A * B = 6 + 2x + 6x^2 + 2x^3$ ¹ : Формула інверсії pg 73, Алгоритми Дасгупта та ін. ін. (С) 2006р

— j__gt
джерело