Які можливі набори довжин слів у звичайній мові?

Давши мову $L$ , визначте набір довжини $L$ як набір довжин слів у $L$ :

Які набори цілих чисел можуть бути набором довжин звичайної мови?

По-перше, спостереження, яке не є вирішальним, але зручним: набір $\mathscr{S}$ множин цілих чисел, які є $LS(L)$ для деякої регулярної мови $L$ на не порожньому алфавіті $\mathscr{A}$ , не залежить від вибору алфавіту. Щоб побачити це, розглянемо скінченний автомат, який розпізнає $L$ ; довжини слів, що знаходяться в $L$ - це довжини шляхів на автоматі, розглядаються як маркований графік від стартового стану до будь-якого прийнятого стану. Зокрема, ви можете відновити кожну стрілку до $a$ і отримати звичайну мову з однаковою довжиною, встановленою за алфавітом $\{a\}$ . І навпаки, якщо$L$ - це звичайна мова над одноелементним алфавітом, її можна тривіально вводити в більший алфавіт, а результат - звичайна мова.

Тому ми шукаємо можливі набори довжини для слів над однотонним алфавітом. На однотонному алфавіті мова - це довжина, задана одинаково: $\mathrm{LS}(L) = \{n\in\mathbb{N} \mid a^n \in L\}$ . Такі мови називаються одинарними.

Нехай $L$ регулярний мову, і розглянемо детермінований кінцевий автомат (ДКА) , який розпізнає $L$ . Набір довжин слів $L$ - це набір довжин шляхів у DFA, що розглядається як спрямований графік, який починається у стартовому стані та закінчується в одному із станів прийняття. DFA на одноелементному алфавіті досить приборканий (NFA будуть дикішими): це або кінцевий список, або круговий список. Якщо список є кінцевим, нумеруйте штати від $0$ до $h$ слідуючи порядку списку; якщо він круговий, пронумеруйте штати від $0$ до $h$ слідуючи за заголовком списку, і $h$ до $h+r$ вздовж циклу.

Нехай $F$ - сукупність показників станів прийняття до $h$ , а $G$ - множина індексів станів прийняття від $h$ до $h+r$ . Потім

І навпаки, нехай $h$ і $r$ - два цілі числа, а $F$ і $G$ - два кінцевих множини цілих чисел, таких що $\forall x \in F, x \le h$ і $\forall x \in G, h \le x \le h+r$ . Тоді множина $L_{F,G,r} = \{ a^{k\,r+x} \mid x\in G, k\in\mathbb{N} \}$є звичайною мовою: це мова, визнана DFA, описаною вище. Регулярний вираз, що описує цю мову є F | G ( г ) * .$a^F \mid a^{G} (a^r)^*$

Підсумовуючи англійською мовою, набори довжин звичайних мов - це набори цілих чисел, які періодично¹ вище певного значення .

¹ _{Щоб повісити на усталене поняття , періодично означає характерну функцію множини (яка є функцією $\mathbb{N}\to\{\mathtt{false},\mathtt{true}\}$ яку ми піднімаємо до функції $\mathbb{Z}\to\{\mathtt{false},\mathtt{true}\}$ ) періодичний. Періодичне вище певного значення означає, що функція обмежена $[h,+\infty[$ може бути продовжено в періодичну функцію.}

Будь-яке кінцеве підмножина може бути довгою множиною звичайної мови L , оскільки ви можете взяти одинарний алфавіт { 0 } і визначити L як { 0 ℓ 1 , … , 0 ℓ n } (сюди входить порожня мова та { ε } ).$\{\ell_1,\ldots,\ell_n\}\subset\mathbb{N}$$L$$\{0\}$$L$$\{0^{\ell_1},\ldots,0^{\ell_n}\}$$\{\varepsilon\}$

Тепер про нескінченні множини. Я дам короткий аналіз, хоча остаточна відповідь може бути недостатньо явною. Я не буду деталізувати, якщо ви не попросите мене, тому що я думаю, що це інтуїтивно і тому, що зараз у мене мало часу.

Нехай - регулярні вирази, що породжують мови L 1 і L 2 відповідно. Це (свого роду) легко це побачити$r_1,r_2$$L_1$$L_2$

• .$\mathsf{LS}(L(r_1+r_2))=\mathsf{LS}(L_1\cup L_2)=\mathsf{LS}(L_1)\cup\mathsf{LS}(L_2)$
• . Це позначається L S ( L 1 ) + L S ( $\mathsf{LS}(L(r_1r_2))=\mathsf{LS}(L_1L_2)=\{\ell_1+\ell_2:\ell_1\in\mathsf{LS}(L_1),\ell_2\in\mathsf{LS}(L_2)\}$ .$\mathsf{LS}(L_1)+\mathsf{LS}(L_2)$
• $$\mathsf{LS}(L(r_1^*))=\{0\}\cup\bigcup_{n\geq 1}\Big\{\sum_{i=1}^n\ell_i:(\ell_1,\ldots,\ell_n)\in\big(\mathsf{LS}(L_1)\big)^n\Big\}.$$

Таким чином, можливими наборами цілих чисел, які можуть бути набором довжин у звичайній мові, є ті, які є кінцевими підмножинами або які можуть бути побудовані, беручи кінцеві підмножини S 1 , S 2 з N і використовуючи попередні формули скінченними кількість разів.$\mathbb{N}$$S_1,S_2$$\mathbb{N}$

Тут ми використовуємо, що регулярні мови будуються за визначенням, застосовуючи правила побудови регулярного виразу в кінцевій кількості разів. Зауважимо, що ми можемо починати з будь-якого кінцевого підмножини , навіть якщо в регулярних виразах ми починаємо зі слів довжиною 0 і 1 лише як базовий регістр. Це легко виправдати тим, що всі (кінцеві) слова є (кінцевими) конкатекаціями символів алфавіту.$\mathbb{N}$

Згідно з накачаною лемою для звичайних мов, існує такий, що рядок x довжиною принаймні рівним n може бути записаний у такому вигляді: x $n$$x$$n$ Якщо мають місце наступні три умови: | u v | < n | v | > 0 u v k w ∈

Це дає нам один тест для множин: набір не може бути набором довжини звичайної мови, якщо всі його елементи не можуть бути виражені у вигляді довільного набору цілих чисел, не більше фіксованого , плюс деякого кратного невизначеного значення m (довжина з v ), плюс деякий довільне кінцеве значення.$n$$m$$v$

Іншими словами, схоже, що можливі набори довжин мови для звичайних мов - це закриття відносно встановленого об'єднання (як обговорювалося під EDIT та EDIT2, завдяки коментаторам) наборів, описаних таким чином: Для фіксованих a , b ∈ N та всіх кінцевих множин S за допомогою накачувальної леми для звичайних мов (дякую Гіллю, що вказав на дурну помилку в моїй оригінальній версії, завдяки якій я визначав множину N ).

EDIT: Ще трохи дискусії. Безумовно, всі кінцеві множини цілих чисел є множинами довжин. Також об'єднання двох наборів довжин також повинно бути набором довжини, як і доповненням будь-якого набору довжин (отже, перетин, отже, різниця). Причиною цього є те, що звичайні мови закриваються під час цих операцій. Тому відповідь, яку я даю вище, (можливо) неповна; насправді будь-який союз таких множин - це також набір довжини якоїсь регулярної мови (зауважте, що я відмовився, вимагаючи перетину, доповнення, різниці тощо), оскільки вони охоплені тим, що регулярні мови закриваються під цими властивостями, як обговорюється в EDIT3; Я думаю, що насправді потрібен лише союз, навіть якщо інші мають рацію, що може бути не так).

EDIT2: Ще більше обговорення. Відповідь, яку я даю, в основному ви б там, де ви опинилися б трохи далі, якби відповіли Яномі; частина приходить від зірки Кліні, то походить від конкатенації, і обговорення об'єднання, перетину, різниці і доповнень приходять від + регулярних виразів (а також інших закривають властивостей регулярних мов) доказово , починаючи з автоматів) .$bn$$a$

EDIT3: У світлі коментаря Janoma, забудьмо властивості закриття наборів довжини мови, про які я обговорював у першій EDIT. Оскільки регулярні мови мають ці властивості закриття, і оскільки кожна звичайна мова має DFA, то випливає, що лемма накачування для звичайних мов застосовується до всіх союзів, перехресть, доповнень та відмінностей звичайних мов, і ми це залишимо ; не потрібно навіть розглядати будь-яке з них, окрім союзу, який, я все ще думаю, може бути необхідним, щоб зробити свій оригінал (модифікований, завдяки внесенню від Gilles) правильним. Отже, моя остаточна відповідь така: те, що я говорю в оригінальній версії, плюс закриття мовної довжини наборів щодо об'єднання набору.