MIN-2-XOR-SAT та MAX-2-XOR-SAT: вони NP-жорсткі?

У чому полягає складність $\text{MIN-2-XOR-SAT}$ та $\text{MAX-2-XOR-SAT}$ ? Вони в Р? Вони NP-жорсткі?

Точніше формалізувати це, нехай

де $\mathbf{x} = (x_1,\dots,x_m)$ і кожен пункт $C_i$ має вигляд $(x_i \oplus x_j)$ або $(x_i \oplus \neg x_j)$ .

Завдання $\text{2-XOR-SAT}$ полягає у знаходженні призначення $\mathbf{x}$ яке задовольняє $\Phi$ . Ця проблема є в $P$ , оскільки вона відповідає системі лінійних рівнянь mod $2$ .

Проблема $\text{MAX-2-XOR-SAT}$ полягає у знаходженні призначення $\mathbf{x}$ що максимально збільшує кількість задоволених пропозицій. Проблема $\text{MIN-2-XOR-SAT}$ полягає у знаходженні призначення $\mathbf{x}$ що мінімізує кількість задоволених пунктів. У чому складність цих проблем?

Натхненний тим, що MIN або MAX-True-2-XOR-SAT NP важко?

Вибачте за відповідь на стару публікацію

Проблема визначення того, чи є примірник MONOTONE-2-XOR-SAT (усі пропозиції такого роду ), може бути зведена до проблеми визначення, чи є графік двостороннім, див. Це .$({x_i}\oplus x_j)$

Для цього ми створюємо графік з вузлом для кожного літералу формули і з'єднуємо кожен літерал з іншим, якщо вони знаходяться в одному пункті (ребра є пунктами)$G$

Наприклад:

Якщо у нас є незадовільна формула, яка є $({x_1}\oplus x_2) \wedge ({x_1}\oplus x_3) \wedge({x_2}\oplus x_3) \wedge ({x_1}\oplus x_4)$

У нас такий графік:

це не двостороннє

Є три застереження, які задовольняють, і тому нам просто потрібно усунути перевагу

Тепер ми можемо зменшити проблему визначення, чи зможемо ми знайти максимальний двосторонній підграф з вершиною до проблеми визначення, чи можемо ми задовольнити k клаузи у формулі MONOTONE-MAX-2XOR-SAT, див. Це . І максимальна проблема двостороннього підграфів еквівалентна максимальній різці$k$$k$

Для зменшення ми просто створюємо новий літерал для кожної вершини і створюємо пункт для кожного краю, що з'єднує два літерали

Наприклад:

У нас є цей графік,

$({x_1}\oplus x_2) \wedge ({x_1}\oplus x_4) \wedge({x_2}\oplus x_4) \wedge ({x_2}\oplus x_3) \wedge ({x_4}\oplus x_5) \wedge ({x_3}\oplus x_5)$

$k$$k$

$(x_i\oplus x_j)$$x_i$$x_i\oplus x_j$$x_i\neq x_j$$x_i\oplus x_j$ вірно, якщо відповідним вершинам було призначено різні кольори в графі.

Якщо всі вершини графіка можна пофарбувати за допомогою двох кольорів, і жодна з двох вершин із загальною часткою ребра не має одного кольору, то рівняння можна задовольнити.

Але графік є двокольоровим, якщо це двосторонній графік. А визначення того, чи є графік двостороннім, можна зробити за багаточлен. Тому проблема полягає в P, оскільки якщо ми можемо за багаточлен визначити, що граф є двостороннім графом, то він вирішимий, інакше він не розв’язується.