Лінія розділяє два набори точок

Якщо є спосіб визначити, чи можна розділити два набори точок лінією?

У нас є два набори точок і якщо є пряма, яка розділяє і таку, що всі точки і лише з одного боку прямої, і всі точки і тільки з іншого боку.Б А В А А Б $A$$B$$A$$B$$A$$A$$B$$B$

Найбільш наївний алгоритм, який я придумав, - це побудувати опуклий багатокутник для і і перевірити їх на перетин. Час складності для цього має бути для побудови опуклого багатокутника. Насправді я не очікую жодних покращень у часовій складності, я не впевнений, що її взагалі можна покращити. Але принаймні повинен бути більш красивий спосіб визначити, чи є така лінія.B O ( n журнал h $A$$B$$O(n\log h)$

І улі, і Дейв Кларк правильно зауважують, що це проблема лінійного програмування навіть у більш високих розмірах (Чи можна розділити ці два точкові множини гіперплан?), І тому це можна вирішити в поліноміальний час. Але оскільки ваші точки лежать у площині, вашу проблему насправді можна вирішити за час, де n - загальна кількість балів.$O(n)$$n$

Найпростішим рішенням є, мабуть, рандомізований алгоритм Сейделя. Виберіть вхідну точку рівномірно і рекурсивно обчисліть роздільну лінію ℓ для всіх точок, крім p .$p$$\ell$ $p$

• Якщо такої лінії немає, то вихідні точки не можна розділити.

• Якщо знаходиться на правильній стороні л , то ℓ відокремлює вихідні точки.$p$$\ell$$\ell$

• Якщо стоїть з неправильної сторони ℓ , то або вихідні точки можна відокремити лінією через p , або початкові точки взагалі не відокремити. Цю умову легко перевірити в O ( n ) час [вправа].$p$$\ell$$p$$O(n)$

Цей алгоритм працює з часом з високою ймовірністю (стосовно випадкових виборів алгоритму). Більш детально див . Оригінальний документ або будь-яку кількість онлайн-конспектів лекцій.$O(n)$

Властивість двох ваших наборів даних полягає в лінійній роздільності , просто в тому, що існує лінія, яка їх розділяє. Багато машинного навчання присвячено пошуку лінійних класифікаторів , які є лініями, які виконують відокремлення, яке вас цікавить.

Як ви говорите про лінії, я припускаю, що ваші точки лежать у площині. Те , що ви хочете зробити , це знайти значення , ш 2 і ш 3 , таке , що для всіх точок ( в 1 , 2 ) в безлічі А , ш 1 1 + W 2 2 ≥ W 3 і для всіх точок ( b 1 , b 2 ) в B , w 1 b 1$w_1$$w_2$$w_3$$(a_1,a_2)$$A$$w_1 a_1+w_2a_2\ge w_3$$(b_1,b_2)$$B$ . Таким чином, нерівність ш 1 х + ш 2 у ≥ ш 3 можна розглядати як класифікатор для безлічі A .$w_1 b_1+w_2b_2<w_3$$w_1 x+w_2y\ge w_3$$A$

Існує набір алгоритмів машинного навчання для визначення оптимальної лінії (лінійна регресія, логістична регресія тощо). Вони знайдуть значення для на основі деякої метрики помилок. Потім ви можете перевірити, чи правильно класифіковані всі бали. Тобто, чи всі з значень в A задовольняє рівняння вище і аналогічно для B .$w_1,w_2,w_3$$A$$B$

Оскільки вас цікавить лише те, чи існує така лінія, вам потрібно було використовувати існуючі методи (хоча це, мабуть, було б простіше). Просто встановіть наступну сукупність рівностей за вільними змінними .$w_1,w_2,w_3$

для кожного я = 1 , . . , | А | , де A = { ( a 1 1 , a 1 2 ) , … , ( a | A | 1 , a | A | 2 ) } .$w_1 a^i_1+w_2a^i_2\ge w_3$$i=1,..,|A|$$A=\{(a^1_1,a^1_2),\ldots,(a^{|A|}_1,a^{|A|}_2)\}$

для кожного J = 1 , . . , | Б | , де B = { ( b 1 1 , b 1 2 ) , … , ( b | B | 1 , b | B | 2 ) } .$w_1 b^j_1+w_2b^j_2< w_3$$j=1,..,|B|$$B=\{(b^1_1,b^1_2),\ldots,(b^{|B|}_1,b^{|B|}_2)\}$

Якщо ці обмеження узгоджуються, то лінія існує.

Якщо я добре пам'ятаю, підтримуючі векторні машини будують окремі гіперплани. Якщо ви виберете розмірність звичайно, гіперплан стає лінією. Можливо, вам доведеться перевірити, чи є додаткові припущення, які необхідно виконати. У двох вимірах весь підхід може значно спроститись, тому час виконання може бути кращим, ніж для загального підходу.$2$