Чому TSP не потребує повторення міст?

9

Мені здається дивним, що TSP заперечує можливість повторних міст. Мета цього мандрівного продавця - поїхати якомога швидше та відвідати всі міста, правда? Що робити, якщо швидше подорожувати містом, у якому ви вже були?

terminology traveling-salesman

— денмкард
джерело

2

Я впевнений, що це довільно. Лише в рідкісних випадках, які дозволяють повторним містам, було б важливо змінити (ніколи в метричній TSP). Тож проблеми навряд чи різні. Причина, ймовірно, історична.

— Karolis Juodelė

8

Я чув, що продавець продає дійсно погані товари, і було б нерозумно зустріти своїх старих клієнтів :)

— ssch

3

Не має значення, як саме ви її визначаєте, оскільки це лише спосіб моделювання проблеми в реальному світі. У TSP у вас просто набір міст і вартість проїзду між кожною парою. Це не виключає можливості того, що в реальній ситуації, яку ви моделюєте, найкращий маршрут між B і C міг би пройти A. Якщо це було так, так, так, маршрут, який моделюється як ABCA в TSP, може дуже добре включати проїзд через A додатковий час на шляху від B до C, але така деталь відстежується далеко в TSP-моделі.

— Девід Річербі
джерело

1

Справедливий момент, але я хотів би зазначити, що TSP часто використовується в реальних ситуаціях. Чи прощається вимога щодо повторення при впровадженні реальних програм?

— danmcardle

@danmcardle Це залежить від програми.

— Том ван дер Занден

2

Я погоджуюся, що обмеження виглядає дивним, і для багатьох практичних ситуацій воно не доречне. Як наголосив Девід у своїй відповіді, якщо ви можете змінити моделювання самостійно, то це насправді не має значення. Але з огляду на незмінний екземпляр, це призведе до зміни, оскільки загальний TSP з цим обмеженням не є приблизним в жодному постійному факторі, тоді як розслаблення обмеження на один візит, схоже, робить його приблизним у межах коефіцієнта 2 (навіть якщо це не метричний ). Якщо я чогось не пропускаю, за стандартними аргументами ви спершу можете побудувати дерево, що має мінімальний розмір (наприклад, вартості) $c$ ), а потім відвідайте це дерево з технікою туру Еулера. Зрозуміло, тоді загальна вартість вашого туру $2 c$ (двічі кожен край). За протиріччя, якщо існувала екскурсія вартістю менше $c$ , тоді ця екскурсія може бути використана для отримання MST вартістю менше $c$ , що є протиріччям.

— Арно Каштейтс
джерело

1

З огляду на будь-яку екскурсію з повторами, ви можете придумати коротший тур, який не повторить жодне місто. Наприклад, розглянемо екскурсію за формою

\dots \to А \to \dots \to Х \to А \to Y \to \dots,

$\cdots \to A \to \cdots \to X \to A \to Y \to \cdots,$ які відвідує

A

$A$ двічі. Ви можете скористатися ярликом під час другого візиту до

A

$A$ , прямуючи звідси

X

$X$ до

Y

$Y$ :

\dots \to А \to \dots \to Х \to Y \to \dots .

$\cdots \to A \to \cdots \to X \to Y \to \cdots.$

Це може бути найкоротший шлях з $X$ до $Y$ проходить через $A$ , але це вже інкапсульоване в краю $X \to Y$ . Можна придумати згадку про $A$ не як "проходить" $A$ а радше "зупинка на" $A$ . Вам потрібно зупинитися лише на $A$ один раз, хоча ви можете пройти $A$ декілька разів.

Фактичні алгоритми для TSP могли б мати цей крок "прийняття ярликів", наприклад алгоритм Христофідеса. Дивіться, наприклад, цей опис або той коротший рахунок .

— Юваль Фільм
джерело

4

Ви припускаєте метричну TSP (тобто, нерівність трикутника має місце). Однак загальна TSP не має нерівності трикутника. Наприклад, у вас могли бути міста

A, X_{1}, \dots, X_{n}

$A, X_1, \dots, X_n$ , де

d (A, X_{i}) = 1

$d(A, X_i)=1$ і

d (x_{i}, x_{j}) = 100

$d(x_i,x_j)=100$ для усіх

i, j

$i, j$ . Найкоротший тур з повторами

A X_{1} A X_{2} A \dots A X_{n} A

$AX_1AX_2A\dots AX_nA$ , з вартістю

2 n + 1

$2n+1$ але найкоротший тур без повторів

A X_{1} \dots X_{n} A

$AX_1\dots X_nA$ , з вартістю

100 n - 98

$100n-98$ .

— Девід Річербі

Звичайно, але (1) ОП, здається, зацікавлена в реальних програмах TSP, які є метричними, а (2) неметричні TSP не так цікаві (оскільки це занадто складно).

— Yuval Filmus

2

@ YuvalFilmus реального світу TSP не є необхідною метрикою. Час від поїздів від А до В займе більше часу, ніж AC + CB, оскільки на дорозі від А до Б.

— трафік

1

@Babibu Відстань на межі

(A, B)

$(A,B)$ - найкоротша відстань від с

A

$A$ до

B

$B$ . У вашому випадку пряма дорога з

A

$A$ до

B

$B$ не найкоротша відстань.

— Yuval Filmus

0

На це немає загальної відповіді, окрім "люди не дурні". Вони застосують рішення, яке відповідає їх ситуації. Рідко люди переймаються самою проблемою продавця подорожей. У класичному випадку, реальний продавець у світі буде більше стурбований проблемою максимізації своїх доходів за певний часовий період у межах певного набору обмежень. У цьому випадку проблеми загальна пройдена відстань є лише одним із ряду різних факторів, які шукають оптимальну відповідь.

— Дж. Антоніо Перес
джерело

0

Якщо дозволено повторення, ви просто перейдете до вивчення всіх з'єднань X -> A -> Y, і якщо це коротше X -> Y, ви заміните довжину X -> Y на довжину X -> A -> Y, і вирішити отриману задачу за допомогою стандартного алгоритму. Я думаю, що вам доведеться повторювати процес заміни, поки не буде змін, тому що якщо ви знайдете коротше з'єднання X -> Y, це може означати, що зараз X -> Y -> Z коротше X -> Y.

Слідкуйте за тим, які з'єднання ви змінили, пройдіть через з'єднання в розчині, і якщо рішення містить X -> Y, ви заміните це на X -> A -> Y.

PS. Я думаю, що моя ідея чудова, але наразі я не дуже впевнений, що вона правильна. Оскільки X -> A -> Y замість X -> Y - це не лише ярлик, він також охоплює місто A.

— gnasher729
джерело