підмножини нескінченних рекурсивних множин

Нещодавнє екзаменаційне запитання:

- це нескінченна рекурсивно-численна множина. Доведіть, що має нескінченний рекурсивний підмножина. $A$ $A$

Нехай нескінченне рекурсивне підмножина . Повинен мати підмножину, яка не є рекурсивно перелічуваною? $C$ $A$ $C$

Я відповів 1. вже. Щодо 2. я відповів ствердно і аргументував так.

Припустимо, що всі підмножини були рекурсивно переліченими. Оскільки є нескінченним, набір потужності є незліченним, тому, припускаючи, було б незліченно багато рекурсивно перелічуваних множин. Але рекурсивно перелічені множини знаходяться в одній співпраці з машинами Тьюрінга, які їх розпізнають, а машини Тьюрінга - безліч. Протиріччя. Отже, повинен мати підмножину, яка не є рекурсивно перелічуваною. $C$ $C$ $C$ $C$

Це правильно?

computability check-my-proof

— користувач1435
джерело

Зрештою, це не зовсім коректно, тому що кожен перелік налічується нескінченно багатьма машинами Тьюрінга, а не однією. Ти можеш обійтись цим.

— Карл Маммерт

@Carl: Ага, правда, дякую - дурна помилка. Але все, що мені потрібно - це ін'єкція в ТМ, а не біекція, правда? І за визначенням Turing-обчислюваного, з яким працював мій клас, кожна ТМ асоціюється з однією і лише однією функцією. Так різні набори -> різні функції розпізнавання -> різні ТМ, які їх обчислюють.

— користувач1435

! user1435: ви перевертаєте речі в останньому реченні. Кожна машина Тьюрінга обчислює одну функцію, але кожна обчислювана функція отримується від нескінченно багатьох машин Тьюрінга.

— Карл Маммерт

Але якщо моя функція f відображає {функції розпізнавання r} на {TMs} через f (r) = будь-яка з нескінченно багатьох ТМ, які її обчислюють, у мене є ін'єкція, правда? Або я припускаю, що я міг би просто розділити {TMs} відношенням еквівалентності ~, яке ідентифікує нескінченність ТМ, які обчислюють ту саму функцію, а потім перевести r на відповідний клас еквівалентності.

— користувач1435

Карл має рацію, вони не перебувають у листуванні один на один, кожен набір ce відповідає нескінченно багато ТМ. Враховуючи, що інші набори об’єктів, як ви робите у своєму коментарі, нічого не змінюють, вони не є набором ТМ.

— Каве

Це правильно.

$\aleph_0\leq C \implies \aleph_0 < 2^C$

$C$

$D = \{ i \in C \mid i \notin W_i \}$ $W_i$ $i$ $D \subseteq C$ $D$ $C$ $K = \{ i \mid i\notin W_i\}$ $C$ $D$

— Каве
джерело

"Кожен нескінченний набір має невизначений підмножина." Це слабше, ніж те, що я намагався довести. Я намагався довести, що C повинен мати немножину підмножини, а не підмножину. Чи все-таки моя вимога правильна?

— користувач1435

Так. Термін "невирішений" трохи перевантажений (у Вікіпедії гарне обговорення ). Тож ця відповідь, ймовірно, означає те, що ви намагаєтесь довести.

— Девід Льюїс

@ user1435, так, той самий аргумент працює для будь-якого рахункового класу мов, я оновив питання, щоб зробити його зрозумілим.

— Каве