Як знайти найкоротше представлення для підмножини живлення?

Я шукаю ефективний алгоритм для наступної проблеми або доказ твердості NP.

Нехай - множина, а - набір підмножин . Знайдіть послідовність найменшої довжини, такою, що для кожного є така, що . $\Sigma$ $A\subseteq\mathcal{P}(\Sigma)$ $\Sigma$ $w\in \Sigma^*$ $L\in A$ $k\in\mathbb{N}$ $\{ w_{k+i} \mid 0\leq i < |L| \} = L$

Наприклад, для $A = \{\{a,b\},\{a,c\}\}$ слово $w = bac$ є рішенням проблеми, оскільки для $\{a,b\}$ є $k=0$ , для $\{a,c\}$ є $k=1$ .

Що стосується мотивації, я намагаюся представляти набір ребер кінцевого автомата, де кожен край може бути позначений набором літер із вхідного алфавіту. Я хотів би зберегти один рядок, а потім зберегти пару покажчиків на цей рядок у кожному краї. Моя мета - мінімізувати довжину цього рядка.

algorithms formal-languages encoding-scheme

— авакар
джерело

Іншими словами, проблема полягає в тому, щоб упорядкувати набори в послідовності

L_{1}, \dots, L_{n}

$L_1, \dots, L_n$ максимізація

\sum | L_{i} \cap L_{i + 1} |

$\sum |L_i \cap L_{i+1}|$ ?

— Karolis Juodelė

@ KarolisJuodelė, я не думаю , що це досить, так як для ви , можливо , доведеться помістити елементи в в двічі , навіть якщо вони в . Наприклад , ви можете поділитися між першими двома або двома останніми, але не серед них все, найкоротшого був би .

L_{i}, L_{i + 1}, L_{i + 2}

$L_i, L_{i+1}, L_{i+2}$

L_{i} \cap L_{i + 2}

$L_i \cap L_{i+2}$

w

$w$

L_{i + 1}

$L_{i+1}$

{{a, b}, {a, c}, {a, d}}

$\{\{a,b\},\{a,c\},\{a,d\}\}$

a

$a$

w

$w$

b a c a d

$bacad$

— авакар

@ KarolisJuodelė, крім того, є випадки, коли для деяких , , що робить це ще складніше, оскільки в такому випадку "упорядкування сусідства" може бути не повним.

i \neq j

$i\neq j$

L_{i} \subseteq L_{j}

$L_i\subseteq L_j$

— авакар

Просто розвеселити, якщо я правильно зрозумів питання, якщо множина , то слово задовольняє заданим вимогам, але (можливий) мінімум такого слова та рішення - ? :)

A = {{c, o, w}, {o, w, l}, {w, o, l, f}}

$A=\{\{c,o,w\},\{o,w,l\},\{w,o,l,f\}\}$

c o w o w l w o l f

$cowowlwolf$

c o w l f

$cowlf$

— MindaugasK

@MindaugasK, це правильно, дуже приємний приклад :)

— avakar

Я вважаю, що я знайшов зменшення від гамільтонового шляху , тим самим доводячи проблему NP-тяжкої.

Назвіть слово свідком для , якщо воно відповідає умові з питання (для кожного є такий, що ). $w\in\Sigma^*$ $A$ $L\in A$ $m\geq 1$ $\{w_{m+i}\mid 0\leq i<|L|\} = L$

Розглянемо версію рішення оригінальної задачі, тобто вирішимо, чи для деяких і є свідком довжини максимум . Цю проблему можна вирішити, використовуючи оригінальну задачу як оракул у поліноміальний час (знайдіть найкоротшого свідка, а потім порівняйте його довжину до ). $A$ $k\geq 0$ $A$ $k$ $k$

Тепер про основу скорочення. Нехай - простий, непрямий, сполучений графік. Для кожного нехай є множиною, що містить вершину та всі її суміжні краї. Встановіть і . Тоді має гамільтонову стежку тоді і тільки тоді, коли є свідок довжиною не більше . $G=(V,E)$ $v\in V$ $L_v=\{v\}\cup\{e\in E\mid v\in e\}$ $v$ $\Sigma=E$ $A=\{L_v\mid v\in V\}$ $G$ $A$ $2|E|+1$

Доказ. Нехай - гамільтонів шлях у та безліч усіх ребер на шляху. Для кожної вершини , визначимо безліч . Виберіть довільне впорядкування для кожного . Слово є свідком , оскільки представлений підрядком , від , і для кожного , , $v_1e_1v_2\ldots e_{n-1}v_n$ $G$ $H=\{e_1, e_2, \ldots, e_{n-1}\}$ $v$ $U_v=L_v\setminus H$ $\alpha_v$ $U_v$ $w=\alpha_{v_1}e_1\alpha_{v_2}e_2\ldots e_{n-1}\alpha_{v_n}$ $A$ $L_{v_1}$ $\alpha_1e_1$ $L_{v_n}$ $e_{n-1}\alpha_n$ $v_i$ $i\notin\{1, n\}$ $L_{v_i}$ представлений . Крім того, кожне ребро в зустрічається двічі в за винятком ребер у , які трапляються один раз, і кожна вершина в виникає один раз, даючи . $e_{i-1}u_{v_i}e_i$ $E$ $w$ $|V|-1$ $H$ $V$ $|w|=2|E|+1$

Для іншого напрямку, нехай довільний свідок довжини не більше . Зрозуміло, що кожен і зустрічається в принаймні один раз. Не втрачаючи загальності, припустимо, що кожне зустрічається в максимум удвічі, а кожне виникає рівно один раз; інакше коротший свідок може бути знайдений шляхом вилучення елементів з . Нехай - це сукупність усіх ребер, що виникають у рівно один раз. Зважаючи на припущення вище, випливає, що. $w$ $A$ $2|E|+1$ $e\in E$ $v\in V$ $w$ $e\in E$ $w$ $v\in V$ $w$ $H\subseteq E$ $w$ $|w|=2|E|-|H|+|V|$

Розглянемо безперервну подстроку виду , де , . Ми говоримо, що суміжні. Зверніть увагу , що якщо , то , тому що відбувається тільки один раз, але він знаходиться поруч з двома вершинами в . Тому, в кращому випадку один з може бути в . Так само жодне ребро в може виникати в перед першою вершиною або після останньої вершини. $w$ $ue_1e_2\ldots e_kv$ $u,v\in V$ $e_i\in E$ $u,v$ $e_i\in H$ $e_i=\{u,v\}$ $e_i$ $G$ $e_i$ $H$ $H$ $w$

Тепер євершин, тому . Звідти випливає, що . Оскільки ми припускаємо, що , ми отримуємо рівність. Звідти отримуємо . За принципом Діріхле, існує ребро з між кожною парою суміжних вершин в . Позначимо всі елементи з у порядку, у якому вони відображаються у . Звідси випливає , що є гамільтонів шлях в . $|V|$ $|H|\leq |V|-1$ $|w|\geq 2|E|+1$ $|w|\leq 2|E|+1$ $|H|=|V|-1$ $H$ $w$ $h_1h_2\ldots h_{n-1}$ $H$ $w$ $v_1h_1v_2h_2\ldots h_{n-1}v_n$ $G$ $\square$

Оскільки проблема вирішення існування гамільтонівського шляху є важкою для NP, а вищезазначене відновлення є поліномом, то оригінальна проблема є і NP-жорсткою.

— авакар
джерело