Ефективна вибірка найкоротших - шляхів рівномірно та незалежно навмання

Нехай граф, і нехай і т дві вершини G . Чи можемо ми ефективно вибирати найкоротший шлях s - t рівномірно та незалежно навмання з набору всіх найкоротших шляхів між s та t ? Для простоти можна припустити, що G простий, непрямий і невагомий.G s t G s t s t $G$$s$$t$$G$$s$$t$$s$$t$$G$

Навіть у багатьох обмежених графах, число найкоротших шляхів між і може бути експоненціальним в розмірі . Тому ми, природно, хотіли б уникати обчислення всіх найкоротших - шляхів. Я не знаю про загальний випадок, але мені здається, що ми можемо досягти цього для деяких спеціальних класів графіків.s t G s $s$$t$$G$$s$$t$

Це відчуває себе як щось, що, мабуть, хтось раніше розглядав. Чи є якісь існуючі дослідження цього, чи це насправді просто зробити навіть для загальних графіків?

Я не на 100% впевнений, що ця відповідь правильна, але ось що:

Я думаю, ви можете звести це до рівномірно випадкових будь-яких шляхів, починаючи з s - t , у DAG з єдиним джерелом та однією раковиною.$s-t$

Дано графік $G$

1. Створіть новий порожній орграф, H .$H$
2. По- перше: запустити BFS частина найкоротшого шляху Дейкстри, починаючи з х , позначити всі вузли з їх найкоротшим відстанню-from- сек .$s$$s$
3. Нехай d ( s , v ) - мінімальна відстань від s - v ; що ми знаємо з кроку BFS алгоритму найкоротшого шляху Діжкстри.$d(s,v)$$s-v$
4. Потім виконайте наступний крок алгоритму найкоротшого шляху Діжкстри, отримайте найкоротший шлях, збережіть його в p (рухаючись назад від t до s ).$\mathbf p$$t$$s$
5. Тепер почніть наступний цикл; розширення в коментарях та нижче:
   • $q_0=\{t\}$
   • Тоді як $q_0 \ne \emptyset$
     • $q_1= \emptyset$
     • Для $u \in q_0$
       • Тож ми хочемо знайти всі можливі наступні вузли для цього найкоротшого підпутника від $t-u$
       • Для всіх ребер ( u , v ) ∈ G таких, що d ( s , v ) < d ( s , u $\text{edge}(u,v) \in G$$d(s,v) < d(s,u)$
         • v - сусідній вузол, менший d ( s , ⋅ ) (буде на 1 менше)$v$$d(s,\cdot)$$1$
         • Тому t - u - v можливий підпункт по найкоротшому шляху.$t-u-v$
         • Поставте $v \rightarrow H, \text{di-edge}(u,v)\rightarrow H$
         • Тепер нам потрібно перевірити наступні черги v з меншими сусідами.$v$
         • Покладіть $v \rightarrow q_1$
     • Встановіть q 0 до q 1 : $q_0$$q_1$
       • $q_0 \leftarrow q_1$

За суті, я збирати всі можливі вузли , які можуть бути використані в найкоротшому шляху, і розміщення їх в H .$H$

Детальніше про те, як це працює:

Алгоритм найкоротшого шляху Діжкстри працює, спершу запустивши BFS і позначивши всі вузли v ∈ G своїми найкоротшими шляхами від s - v . Наступним кроком є ​​повернення з t - s та слідування найменш сусідніх вузлів назад.$v\in G$$s-v$$t-s$

Вся справа в тому, що тут ви можете вибрати будь-який з найменш сусідніх вузлів. Що я тут роблю, це збирати всі найменш сусідні вузли на кожному кроці, це означає, що я враховую всі найкоротші шляхи.

Тепер ви швидко задумаєтесь, але е, чому їх перерахувати експоненціально, а мій шлях - ні?

Відповідь, оскільки я використовую набір, щоб уникнути додавання одних і тих же вузлів двічі, я уникаю перерахунку цього для кожного можливого шляху.

Тепер у нас є DAG, який ми можемо пройти будь-яким способом від t - s і отримати найкоротший зворотний шлях від s - t . Графік повинен мати t як єдине джерело, а s - як єдину раковину.$t-s$$s-t$$t$$s$

Якщо вище сказано правильно, я думаю, що ми можемо зробити цей крок далі і вирішити проблему наступним чином.

Надайте кожному вузлу в DAG вагу вузла; вага вузла буде кількістю шляхів від цього вузла до s . Назвемо це w ( v ) .$s$$w(v)$

Ви можете обчислити це швидко, см алгоритму , який знаходить ряд простих шляхів від ї до т в G .

Отримавши вагу вузла, ми можемо рівномірно вибрати шлях шляхом:

• Макет DAG як структура рівня (для візуалізації)
• На кожному рівні вибирайте довільне впорядкування між вузлами, тобто. поняття «зліва направо».
• Перехід DAG: на кожному кроці i , i ∈ [ 1 , | р | ] (де | ⋅ | означає розмір, у цьому випадку довжину найкоротшого шляху): $i$$i \in \left[1,\left|\mathbf p\right|\right]$$|\cdot|$
  • Нехай u я - поточний вузол (починаючи з t )$u_i$$t$
  • Складіть всі ваги дітей u i , використовуючи RNG, виберіть один дочірній вузол, v i , рівномірно між зваженими дітьми.$u_i$$v_i$
  • Встановіть u i + 1 = v i і перейдіть до наступного кроку$u_{i+1} = v_i$

Ось рішення, що базується на ідеях у відповіді Реалза Слау. В основному це повторне викладення його ідей, які можуть бути зрозумілішими або легшими слідувати. План полягає в тому, що ми будемо діяти у два етапи:

1. По- перше, ми будемо будувати граф S з наступним властивістю: будь-який шлях від S до т в S являє собою найкоротший шлях від S до т в G , і кожен найкоротший шлях від S до т в G також присутній в S . Таким чином, S містить саме найкоротші шляхи в G : всі найкоротші шляхи, і більше нічого. Як це відбувається, S буде DAG.$S$$s$$t$$S$$s$$t$$G$$s$$t$$G$$S$$S$$G$$S$

2. Далі, ми будемо пробувати рівномірно випадковим чином з усіх шляхів від х до т в S .$s$$t$$S$

Цей підхід узагальнює довільно спрямований графік G до тих пір, поки всі ребра мають позитивну вагу, тому я поясню свій алгоритм у цих термінах. Нехай w ( u , v ) позначає вагу на межі u → v . (Це узагальнює задане, яке ви подали. Якщо у вас незважений графік, просто припустіть, що кожен край має вагу 1. Якщо у вас є ненаправлений графік, розглядайте кожен непрямий край ( u , v ) як два спрямовані ребра u → v і v → у .)$G$$w(u,v)$$u \to v$$(u,v)$$u\to v$$v\to u$

Крок 1: екстракт S . $S$ Запустіть алгоритм найкоротших шляхів з одним джерелом (наприклад, алгоритм Дейкстри) на G , починаючи з джерела s . Для кожної вершини v в G нехай d ( s , v ) позначає відстань від s до v .$G$$s$$v$$G$$d(s,v)$$s$$v$

Тепер визначте графік S таким чином. Він складається з кожного ребра u → v таким, що (1) u → v - це край у G , а (2) d ( s , v ) = d ( s , u ) + w ( u , v ) .$S$$u \to v$$u \to v$$G$$d(s,v) = d(s,u) + w(u,v)$

Графік S має деякі зручні властивості:$S$

• Кожен найкоротший шлях від s до t у G існує як шлях у S : найкоротший шлях s = v 0 , v 1 , v 2 , … , v k = t у G має властивість d ( s , v i + 1 ) = d ( s , v i ) + w ( v i , v $s$$t$$G$$S$$s=v_0,v_1,v_2,\dots,v_k=t$$G$+ 1 ), такребро v я → v я + 1 присутня вS.$d(s,v_{i+1})=d(s,v_i)+w(v_i,v_{i+1})$$v_i \to v_{i+1}$$S$

• Кожен шлях в S з S до т є найкоротшим в G . Зокрема, розглянемо будь-який шлях у S від s до t , скажімо, s = v 0 , v 1 , v 2 , … , v k = t . Його довжина визначається сумою ваг його ребер, а саме ∑ k i = 1 w ( v i - 1 , v i$S$$s$$t$$G$$S$$s$$t$$s=v_0,v_1,v_2,\dots,v_k=t$$\sum_{i=1}^k w(v_{i-1},v_i)$, але за визначенням S ця сума дорівнює ∑ k i = 1 ( d ( s , v i ) - d ( s , v i - 1 ) , що телескопи до d ( s , t ) - d ( s , s ) = d ( s , t ) . Тому цей шлях - найкоротший шлях від s до t в $S$$\sum_{i=1}^k (d(s,v_i)-d(s,v_{i-1})$$d(s,t)-d(s,s)=d(s,t)$$s$$t$$G$.

• Нарешті, відсутність ребер з нульовою вагою в G означає, що S - даг.$G$$S$

Крок 2: вибірка випадкового шляху. Тепер ми можемо викинути ваги по краях в S , і зразок випадкового шляху від ї до т в S .$S$$s$$t$$S$

To help with this, we will do a precomputation to compute $n(v)$ for each vertex $v$ in $S$, where $n(v)$ counts the number of distinct paths from $v$ to $t$. This precomputation can be done in linear time by scanning the vertices of $S$ in topologically sorted order, using the following recurrence relation:

where $\text{succ}(v)$ denotes the successors of $v$, i.e., $\text{succ}(v) = \{w : v \to w \text{ is an edge in $S$}\}$, and where we have the base case $n(t)=1$.

Next, we use the $n(\cdot)$ annotation to sample a random path. We first visit node $s$. Then, we randomly choose one of the successors of $s$, with successor $w$ weighted by $n(w)$. In other words:

choosesuccessor(v):
    n = 0
    for each w in succ(w):
        n = n + n(w)
    r = a random integer between 0 and n-1
    n = 0
    for each w in succ(w):
        n = n + n(w)
        if r < n:
            return w

To choose a random path, we repeatedly iterate this process: i.e., $v_0=s$, and $v_{i+1} =$ choosesuccessor$(v_i)$. The resulting path is the desired path, and it will be sampled uniformly at random from all shortest paths from $s$ to $t$.

Hopefully this helps you understand Realz Slaw's solution more easily. All credit to Realz Slaw for the beautiful and clean solution to this problem!

The one case this doesn't handle is the case where some edges have weight 0 or negative weight. However, the problem is potentially not well-defined in that case, as you can have infinitely many shortest paths.