Мінімізація довжини електропроводки

Моя проблема така:

1. У мене є фізичний макет, представлений у вигляді графіка. Вузли являють собою гачки / канали, де дріт може закріплюватися, а Краї - це можливе з'єднання між двома вузлами, звідки може пройти дріт.

2. Існують деякі спеціальні Вузли, що називаються сплітерами, з яких один дріт можна розділити на 2 і більше до k. На даний момент k можна вважати постійним, але він змінюється від вузла до вузла. Не всі вузли - це сплітери.

3. Є одне джерело живлення, звідки вийде дріт. Це джерело. Дріт потрібно винести на п ять.

4. Край може приймати будь-яку кількість проводів, що проходять по ньому в будь-якому напрямку.

5. Загальна довжина дроту повинна бути мінімізована.

6. Природа графа, площини чи евкліда не відома.

Приклад : Нижче наведено зразок мережі. Вузли називаються числами, а ребра мають однакові ваги 1. Джерелом є Node1, а раковини - Node5, Node9 та Node13. У випадку, коли 1 Node6 - це вузол Splitter. У випадку, коли 2 Node6 і Node4 є вузлами спліттера. Вузол спліттера k = 3, тобто він може взяти один провід і розділити його на 3 дроти.

Випадок 1 . Лише один спліттер Вузол. Є сенс розділити на Node6.

Випадок 2 . Два спліттер Вузол. Є сенс розділити на Node4 замість Node6.

Я шукаю різні стратегії, щоб знайти загальне рішення цієї проблеми. Наведений тут графік має менший масштаб порівняно з проблемою. Графік є статичним і не може бути змінений (я маю на увазі, що рішення не повинно пропонувати жодного нового краю або пропонувати нове місце для розділення). Будь-яке посилання на науково-дослідний документ, опублікований на цю проблему, також вітається.

Випадок 3 . Два спліттер Вузол. Є сенс розділити на Node4 і Node14. Зауважте, що у цьому випадку ваги кромки змінені для Edge 8-12, 6-10 та 10-11. Важливим у цьому випадку є відтягування дроту після розщеплення від Node14.

Ця проблема є важкою для NP.

Припустимо, що кожна вершина - це сплітер, який може розділитися на будь-яку кількість градусів, тоді ваша проблема полягає саме в проблемі дерева Штейнера на графіку , де набір вершин і потоків вершин є необхідними вершинами.

Я не маю рішення вашої проблеми, але у мене проміжне спрощення. Обмеження 2 (кожному вузлу сплітера дозволено розділяти один провід не більше ніж на дроти) - це те, що мене наткнуло.k $i$$k_i$

Спрощення полягає в тому, що ви можете усунути всі проміжні (квадратні) вузли. Створіть графік лише з вихідним вузлом, вузлами мийки та вузлами розбиття.

1. У своєму початковому графіку знайдіть найкоротший шлях від вихідного вузла до кожного вузла розгалужувача та додайте край у новому графіку від вихідного вузла до вузла розгалужувача з такою довжиною.

2. З огляду на два вузли сплітера, та знаходять найкоротший шлях від до у вихідному графіку та додають край у новому графіку від до з такою довжиною.j $i$$j$$i$i $j$$i$$j$

3. Для кожного роздільника та кожного раковини знайдіть найкоротший шлях від до у вихідному графіку та додайте край у новому графіку від до з такою довжиною.j $i$$j$$i$i $j$$i$$j$

Тепер у вас є повністю пов'язаний графік з розгалужувачів (плюс джерело та раковини). На краях є витрати, і ви намагаєтеся знайти дерево мінімальної вартості, яке задовольнятиме обмеження, що кожний вузол сплітера має не більше, ніж дітей.$N$k $i$$k_i$

Ця (зменшена) проблема здається важче, ніж обмежена ступенем мінімальна проблема , що стосується дерева , яка є важкою для NP, оскільки на кожному вузлі існує різний ступінь а не обмеження на один ступінь. Але це також відрізняється тим, що ви насправді не шукаєте розкинутого дерева. Швидше, бажаний мінімум дерева може залишити деякі вузли розщеплення. Я не знаю, чи ця друга різниця робить проблему легшою чи складнішою.$k_i$

@ Чхао Сю, я також виявив, що Штайнер є найближчим наближенням до моєї проблеми. Я досліджую системи на основі мурашок, щоб вирішити цю проблему.