Чи є проблеми з NP, не в P і не NP Complete?

Чи є відомі проблеми в $\mathsf{NP}$ (а не в $\mathsf{P}$ ), які не є $\mathsf{NP}$ Повними? Я розумію, що в даний час немає відомих проблем, але це не виключено як можливість.

Якщо є проблема, яка є $\mathsf{NP}$ (а не $\mathsf{P}$ ), але не $\mathsf{NP\text{-}complete}$ , це буде наслідком відсутності ізоморфізму між прикладами цієї проблеми та $\mathsf{NP\text{-}complete}$ встановити? У такому випадку, як би ми знали, що проблема $\mathsf{NP}$ не є «складнішою», ніж те, що ми в даний час визначаємо як $\mathsf{NP\text{-}complete}$ набір?

Чи є відомі проблеми в NP (а не в P), які не є NP Complete? Я розумію, що в даний час немає відомих проблем, але це не виключено як можливість.

Ні, це невідомо (за винятком тривіальних мов та Σ ∗ , ці дві не є повними через визначення скорочень багато-один, як правило, ці два ігноруються при розгляді скорочень багато-одна). Наявність проблеми N P, яка не є повною для скорочення N P wrt багато-одного поліноміального часу, означатиме, що P ≠ N P невідомо (хоча широко вважається). Якщо ці два класи відрізняються , то ми знаємо , що існують проблеми в N P , які не є повними для нього, приймати які - небудь проблеми в P .$\emptyset$$\Sigma^*$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}\neq\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$

Якщо є проблема, яка є NP (а не P), але не NP Complete, чи це буде наслідком відсутності ізоморфізму між прикладами цієї проблеми та комплектом NP Complete?

Якщо два класи складності різні, то за теоремою Ладнера є проблеми, які є проміжними, тобто вони знаходяться між P і N P - c o m p l e t e .$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NP\text{-}complete}$

У такому випадку, як ми могли б знати, що проблема NP не є «складнішою», ніж те, що ми зараз ідентифікуємо як NP Complete Complete?

Вони все ще є поліноміальним часом, зведеним до проблем, тому вони не можуть бути складнішими, ніж N P - c o m p l e t e .$\mathsf{NP\text{-}complete}$$\mathsf{NP\text{-}complete}$

Як зазначав @Kaveh, це питання цікаве лише тоді, якщо вважати ; решта моєї відповіді сприймає це як припущення, і здебільшого надає посилання для подальшого зволоження апетиту. Згідно з цим припущенням, по теоремі Ладнера ми знаємо , що є проблеми , які не є ні в Р , ні N P C ; ці проблеми називаються N P -intermediate або N P I . Цікаво, що теорему Ладнера можна узагальнити до багатьох інших класів складності для створення подібних проміжних задач. Далі з теореми також випливає, що існує нескінченна ієрархія$P \neq NP$$P$$NPC$$NP$$NPI$проміжних проблем, які не є полі-час приводиться один з одним в .$NPI$

На жаль, навіть з припущенням дуже важко знайти природні проблеми, які були б виправдано N P I (звичайно, у вас є штучні проблеми, що випливають із доведення теореми Ладнера). Таким чином, навіть припускаючи, що P ≠ N P в цей час, ми можемо вважати лише деякі проблеми N P I, але не доводити. Ми приходимо до таких переконань, коли маємо обґрунтовані докази, щоб вважати, що проблема N P не в N P C та / або не в $P \neq NP$$NPI$$P \neq NP$$NPI$$NP$$NPC$$P$; або просто тоді, коли його вивчали тривалий час і уникали входження в будь-який клас. Існує досить великий список таких проблем в цій відповіді . Він включає такі фаворити за весь час, як факторинг, дискретний журнал та граф-ізоморфізм.

$BQP$$BQP$$NPC \not\subseteq BQP$$NPI$$BQP$

Немає NP -повна проблеми , як відомо, в P . Якщо є поліноміальний алгоритм для будь-якої NP -повна завдання, то P = NP , так як будь-яка проблема NP має скорочення полиномиального часу для кожного NP -повна проблем. (Ось саме так і визначається " NP- завершений".) І очевидно, якщо кожна проблема NP- завершення лежить поза P , це означає, що P ≠ NP . Ми не впевнені, чому важко це показати так чи інакше; якби ми знали відповідь на це питання, ми, мабуть, знали б набагато більше про П іНП . У нас є декілька методів доказування, які, як ми знаємо, не працюють (наприклад, релятивізація та природні докази), але не мають принципового пояснення, чому ця проблема є важкою.

Якщо в НП є проблеми, яких немає в Р , то насправді існує нескінченна ієрархія проблем в НП між тими, що в Р, і тими, які є НП повними: це результат, який називається теоремою Ладнера .

Сподіваюся, це допомагає!

Є деякі проблеми, які є NP, але ніхто не знає, що вони NP-завершені або , як ізоморфізм графа ¹ . Але, як я знаю, для таких проблем не існує спеціального класу складності, можливо, я помиляюся.$P$

Можливо, це , наприклад перед алгоритмом AKS ніхто не знає тестування первинності або NPC.$P$$P$

Також є деякі проблеми, які є NPC, але не в сильному сенсі або слабо NP-Complete , як проблема 2-розділів , означає, що якщо вхідні числа є в поліномійному розмірі вхідного розміру, цю проблему можна вирішити в (або є алгоритм часу псевдополінома для них).$P$

¹ Аналогічна проблема: ізоморфізм субграфа є NP-завершеним у сильному сенсі.