Які класи структур даних можна зробити стійкими?

Стійкі структури даних - це незмінні структури даних. Операції над ними повертають нову "копію" структури даних, але змінену операцією; стара структура даних залишається незмінною. Ефективність зазвичай досягається шляхом обміну деякими базовими даними та уникнення повного копіювання структури даних.

Запитання:

• Чи є результати щодо класів структур даних, які можна зробити стійкими (зберігаючи однакові або дуже схожі складності)?

• Чи можна зробити всі структури даних стійкими (зберігаючи однакові або дуже схожі складності)?

• Чи відомо, що будь-які структури даних не можуть бути стійкими (зберігаючи однакові або дуже схожі складності)?

Позитивний результат: наполегливість не надто коштує. Можна показати, що кожну структуру даних можна зробити повністю стійкою з максимум уповільненням.$O(\lg n)$

Доведення: Ви можете взяти масив і зробити його стійким, використовуючи стандартні структури даних (наприклад, збалансоване бінарне дерево; див. Кінець цієї відповіді для більш детальної інформації). При цьому виникає $O(\lg n)$ уповільнення : кожен доступ до масиву займає час із стійкою структурою даних, а не O ( 1 ) час для непостійного масиву. Тепер візьміть будь-який імперативний алгоритм, час роботи якого в моделі оперативної пам'яті дорівнює O ( f ( n ) ) , де n позначає об'єм використовуваної пам'яті. Представити всю пам'ять як один великий масив (з$O(\lg n)$$O(1)$$O(f(n))$$n$ елементів), і зробіть його стійким, використовуючи стійку карту. Кожен крок імперативного алгоритму має максимум O ( lg n ) уповільнення, тому загальний час роботи O ( f ( n ) lg n ) .$n$$O(\lg n)$$O(f(n) \lg n)$

Мабуть, можна зробити трохи краще: мабуть, можна зменшити коефіцієнт уповільнення до (очікуваний, амортизований час), використовуючи методи, наведені нижче в документі Demaine, - але я не знайомий з деталями цієї роботи, тому я не можу поручитися за це сам. Завдяки jbapple за це спостереження.$O(\lg \lg n)$

Негативний результат: у деяких структурах даних ви не можете уникнути деякого уповільнення. Щоб відповісти на ваше третє запитання, існують структури даних, де відомо, що їх наполегливість вносить деяке уповільнення.

Зокрема, розглянемо масив з елементів. Без наполегливості кожен доступ до масиву займає$n$ (в моделі ОЗУ). З наполегливістю, очевидно, було показано, що немає способу побудувати стійкий масив знайгіршим випадком складності O ( 1 ) для доступу до випадкового елемента. Зокрема, мабуть, нижня межа показує, що повністю стійкі масиви повинні матичас доступу Ω ( lg lg n ) . Ця нижня межа стверджується на п.3 наступного документу:$O(1)$$O(1)$$\Omega(\lg \lg n)$

• Суто стійкі спроби для ефективного контролю версій . Ерік Д. Демен, Стефан Лангерман, Ерік Прайс. Алгоритмія, том 57, № 3, 2010, стор. 462–483.

Нижня межа приписується Михайлові Патраску, але немає жодного посилання на джерело, яке б наводило деталі доказу цієї твердженої нижньої межі.

Багата область досліджень. Якщо ми візьмемо довільну структуру даних або алгоритм, це делікатне запитання, чи можна зробити його стійким з максимум уповільнення чи ні. Я не знаю жодної загальної теореми класифікації. Однак існує багато досліджень щодо того, як зробити конкретні структури даних стійкими та ефективними.$O(1)$

Існує також міцний зв’язок з функціональними мовами програмування. Зокрема, кожна структура даних, яка може бути реалізована суто функціональним способом (без мутацій), - це вже стійка структура даних. (Навпаки, це не обов'язково, на жаль.) Якщо ви хочете косити очі, ви можете сприймати це як деяку слабку різновид теореми часткової класифікації: якщо вона реалізовується в чисто функціональній мові програмування з тими ж межами часу, що і в Імперативна мова, то існує стійка структура даних з тими ж межами часу, що і непостійна. Я усвідомлюю, що це, мабуть, не те, що ви шукали - це здебільшого лише тривіальне переформулювання ситуації.

Як створити стійкий масив. Я не буду намагатися описати конструкцію, як створити повністю стійкий масив з найгіршим часом доступу . Однак основні ідеї не надто складні, тому я підсумую суть ідей.$O(\lg n)$

Основна ідея полягає в тому, що ми можемо прийняти будь-яку структуру даних бінарних дерев і зробити її стійкою за допомогою методики, званої копіювання контуру . Скажімо, у нас є двійкове дерево, і ми хочемо змінити значення в якомусь листі . Однак для наполегливості ми не наважуємось змінювати значення у цьому листі на місці. Натомість ми робимо копію цього аркуша та змінюємо значення в копії. Потім ми робимо копію його батьківського і змінюємо відповідний дочірній вказівник на копію, щоб вказати на новий лист. Продовжуйте таким чином, клонуючи кожен вузол на шляху від кореня до листа. Якщо ми хочемо змінити лист на глибині d , для цього потрібно скопіювати d вузлів.$\ell$$d$$d$

Якщо у нас збалансоване двійкове дерево має вузлів, то всі листя мають глибину O ( lg n ) , тому ця операція над двійковим деревом займає$n$$O(\lg n)$ . Я пропускаю деякі деталі - щоб досягти O ( lg n ) найгіршого часу, нам може знадобитися перебалансувати дерево, щоб воно залишалося збалансованим - але це дає суть цього.$O(\lg n)$$O(\lg n)$

Більше пояснень із гарними картинками можна знайти на таких ресурсах:

• Прочитайте розділи, позначені "Двійкові дерева пошуку" та "Структури випадкового доступу" (зокрема, метод дерева) на веб-сайті http://toves.org/books/persist/index.html .

• Або прочитайте http://netcode.ru/dotnet/?artID=6592#BinaryTrees та деякі наступні розділи.

• Або прочитайте розділи, позначені "Функціональні структури даних" та "Шлях копіювання" (починаючи з стор. 4) зазначеного вище документа Demaine: http://erikdemaine.org/papers/ConfluentTries_Algorithmica/paper.pdf

Це дасть вам головну думку. Є додаткові деталі, про які слід подбати, але деталі не входять у це питання. На щастя, це все стандартні речі, і в літературі є багато інформації про те, як будувати такі структури даних. Не соромтеся задавати окреме запитання, якщо вищевказаних ресурсів недостатньо та хочете отримати більше інформації про деталі побудови стійкої структури даних масиву.