Алгоритм

Проблема кліків - це добре відома -повна проблема, де розмір необхідної кліки є частиною введення. Однак проблема k-кліки має тривіальний алгоритм багаточленного часу ( O ( n k ), коли k є постійним). Мене цікавлять найвідоміші верхні межі, коли k постійний.$NP$$O(n^k)$$k$

Чи існує алгоритм із часом виконання ? Про ( п до ) -time алгоритм також є прийнятним. Також, чи є якісь теоретично-теоретичні наслідки існування таких алгоритмів?$O(n^{k-1})$$o(n^k)$

3-кліка може бути знайдена в -верховому графіку G за час O ( n ω ) , де ω < 2.376 - показник множення матриці, а в просторі O ( n 2 ) - результат Itai та Rodeh [1] . В основному вони показують, що G містить трикутник тоді і тільки тоді, коли ( A ( G ) ) 3 має ненульовий запис на своїй головній діагоналі. Тому що трикутник - це також цикл С $n$$G$$O(n^\omega)$$\omega < 2.376$$O(n^2)$$G$$(A(G))^3$$C_3$, можна використовувати загальні методи пошуку циклу для виявлення трикутників. Алон, Юстер та Цвік показують, як можна виявити трикутники на графіку -edge за час O ( m 2 ω / ( ω + 1 ) ) = O ( m 1,41 ) [6].$m$$O(m^{2\omega/(\omega+1)}) = O(m^{1.41})$

Тривалий час результат Несетріла і Поляка [2] був найкращим відомим; вони показали кількість кліків розміром можна знайти в часі O ( n ω k ) та O ( n 2 k ) просторі. Нарешті, Ейзенбранд та Грандоні [3] покращилися за результатами Несетріла та Поляка для ( 3 k + 1 ) -clique та ( 3 k + 2 ) -clique при малих значеннях k . Зокрема, вони дали алгоритми для пошуку кліків розміром 4, 5 та 7 за часом $3k$$O(n^{\omega k})$$O(n^{2k})$$(3k+1)$$(3k+2)$$k$ , O ( n 4.220 ) та O ( n 5.714 ) відповідно.$O(n^{3.334})$$O(n^{4.220})$$O(n^{5.714})$

Наскільки я знаю, для загального проблема проектування кращих алгоритмів відкрита. Для отримання можливих наслідків або складності теоретичних міркувань, і Downey Fellows (див , наприклад , [4]) показали , до -clique з параметром до є Вт [ 1 ] -Жорсткий. Клас W [ 1 ] позначає клас параметризованих задач рішення, зведених до CLIQUE з параметризованими скороченнями. Вважається, що CLIQUE не відслідковується з фіксованим параметром. Є сотні інших проблем, які, як відомо, еквівалентні CLIQUE при параметризованих скороченнях. Крім того, у Фейге та Кіліяна [5, розділ 2] є результат, який говорить про те, що при $k$$k$$k$$W[1]$$W[1]$$k$є частиною вхідних даних і , тоді політаймовий алгоритм, ймовірно, не існує.$k \approx \log n$

Якщо розглядати деякі обмежені класи графів, ви можете вирішити задачу за лінійним часом на хордальних графах. Просто обчисліть дерево кліки хордального графіка за час O ( n + m ) , а потім перевірте, чи якась кліка має розмір точно k . На плоских графах також можна знайти трикутники за O ( n ) час, використовуючи методи [6].$G$$O(n+m)$$k$$O(n)$

[1] Ітаї, Алон та Майкл Роде. "Знаходження мінімальної схеми у графі." Журнал обчислювальної техніки SIAM 7.4 (1978): 413-423.

[2] Нешетріл, Ярослав та Сватоплук Поляк. "Про складність задачі про підграф". Commentationes Mathematicae Universitatis Carolinae 26.2 (1985): 415-419.

[3] Айзенбранд, Фрідріх та Фабріціо Грандоні. "Про складність кліки фіксованого параметра та домінуючого набору." Теоретичні інформатики 326.1 (2004): 57-67.

[4] Дауні, Р.Г. та стипендіати Майкла Р. "Основи параметризованої складності". Тексти післядипломної освіти з інформатики, Спрингер-Верлаг (2012).

[5] Фейге, Уріель і Кіліан, Джо. "Про обмежене проти поліномічного недетермінізму". Чиказький журнал теоретичних комп'ютерних наук. (1997)

[6] Алон, Нога, Рафаель Юстер та Урі Цвік. "Знаходження та підрахунок заданих циклів довжин." Algorithmica 17.3 (1997): 209-223.