Чи є TM, який зупиняється на всіх входах, але ця властивість не є доказовою?

17

Чи існує машина Тьюрінга, яка зупиняється на всіх входах, але ця властивість чомусь не піддається доказуванню?

Мені цікаво, чи це питання вивчено. Зауважте, "недоказаний" може означати "обмежену" систему доказів (яка у слабкому сенсі вважає, що відповідь повинна бути так). Мене, звичайно, цікавить найсильніша можлива відповідь, тобто така, яку неможливо зупинити на всіх вкладах у скажімо теорії наборів ZFC або будь-якому іншому.

Мені прийшло в голову, що це може бути правдою функції Ackermann, але я туманно про деталі. Схоже, що Вікіпедія чітко описує цей аспект.

— взн
джерело

3

Арифметики піано достатньо, щоб довести, що функція Акермана є тотальною: це вправа 17 Введення Яапа ван Оостена до приміток ПА .

— Девід Річербі

загальна обчислювана fn defn wikipedia. Зауважте, це питання було частково мотивоване поглядом на Collatz fn, де це пов'язане довге відкрите запитання ...

— vzn

2

Це нерозумне зауваження, але зауважте, що для кожної машини Тьюрінга M, яка закінчується на всіх входах, теорія

є послідовною теорією. Але, використовуючи теорему Ґодельса, ми можемо показати, що не існує єдиної рекурсивної теорії, яка могла б довести припинення всіх таких машин.

P A + " M terminates on all input"

$\mathrm{PA}+\mbox{"$M$ terminates on all input"}$

— cody

12

Так. Машина Тьюрінга, яка обчислює послідовність Гудштейна починаючи з введення і закінчується, коли послідовність досягає нуля. Це завжди закінчується, але це не може бути доведено в арифметиці Peano. Я впевнений, що для ZFC або будь-якої іншої системи ви можете обрати рівноцінні речі.

Змінити Для ZF, Hartmanis та Hopcroft показують, що існує машина Тьюрінга яка відкидає кожен вхід, але це не може бути доведено в ZF. Я не впевнений, чи може ZF довести, що завжди зупиняється, але він, безумовно, не може довести, що машина "Якщо приймає то цикл назавжди, інакше зупиняється" завжди зупиняється, навіть якщо це так. Це все ще залишає ZFC відкритим, але ZF є більш потужним, ніж PA. $M$ $M$ $M'(x)$ $=$ $M$ $x$

Див. Розд. 3 опитування Скотта Ааронсона про незалежність P = NP для експозиції результатів Хартманіса-Хопкрофта та цитування їх оригінальних робіт.

— Девід Річербі
джерело

Щодо додавання аксіоми вибору: ZFC не може зробити краще, ніж ZF для "простих" висловлювань, як проблема зупинки (у цьому випадку

якщо я не помиляюся). Це тому, що ZF і ZFC доводять однакові твердження

.

Π_{2}^{0}

$\Pi^0_2$

Π_{2}^{0}

$\Pi^0_2$

— коді

6

Візьмемо теорію яка є, принаймні, такою ж сильною, як і «основна» арифметика, і яка є рекурсивно перелічуваною (можна перерахувати кожну теорему ). ${\cal T}$ ${\cal T}$

Побудуйте наступну машину , яка на вході поводиться так : $M$ $n$

If there is no proof of 0 = 1 in less than n steps in T, ACCEPT
Otherwise, LOOP.

Досить легко показати, використовуючи другу теорему про незавершеність, що не може довести, що закінчується на всіх вхідних даних (якщо це буде послідовно). ${\cal T}$ $M$

Це, звичайно, працює для , , , ... до тих пір, поки вони несуперечливі. ${\cal T}=\mathrm{ZFC}$ ${\cal T}=\mathrm{PA}$ ${\cal T}=\mathrm{PA²}$

— коді
джерело

5

Деякі невиправдані в ПА, але справжні теореми можуть бути перетворені на машини Тьюрінга. Наприклад, є (посилена версія) теореми Рамсея , що неможливо довести в ПА, і ми можемо побудувати машину , яка буде просто пошук відповідного . $N$

— Даніїл
джерело