Накачана лема для простих кінцевих регулярних мов

20

У Вікіпедії є таке визначення накачаної леми для звичайних мов ...

Нехай - звичайна мова. Тоді існує ціле число ≥ 1 , що залежить тільки від таким чином, що кожен рядок в довжини щонайменше ( називається «накачування довжиною») може бути записана в вигляді = (тобто, можна розділити на три підрядки), що відповідають наступним умовам: $L$ $p$ $L$ $w$ $L$ $p$ $p$ $w$ $xyz$ $w$

| $y$ | ≥ 1

| $xy$ | ≤ $p$

для всіх $i$ ≥ 0, $xy^iz$ ∈ $L$

Я не бачу, як це задовольняється простою обмеженою регулярною мовою. Якщо у мене є алфавіт { $a,b$ } і регулярний вираз , то складається тільки з одного слова , яке з подальшим . Тепер я хочу перевірити, чи відповідає моя звичайна мова леммою, що накачується ... $ab$ $L$ $a$ $b$

Оскільки в моєму регулярному виразі нічого не повторюється, значення $y$ повинно бути порожнім, щоб умова 3 виконувалась для всіх $i$ . Але якщо так, то він не відповідає умові 1, яка говорить, що $y$ має бути принаймні 1 у довжину!

Якщо замість цього я нехай $y$ яких , або , то вона буде задовольняти умові 1 але не умова 3 , тому що він ніколи не повторюється. $a$ $b$ $ab$

Мені, очевидно, не вистачає чогось розуму дивно очевидного. Який є?

— Філ Райт
джерело

29

Ви маєте рацію - ми не можемо дозволити «накачування» слова кінцевого . Те, що вам не вистачає, - це те, що лема каже, що існує число , але не говорить нам про число. $L$ $p$

Лема може накачати всі слова, довші за . Для кінцевого , це відбувається так , що більше , ніж довжина найдовшого слова в . Таким чином, лема зберігається лише вакуумно і не може бути застосована до жодного слова з , тобто будь-яке слово в не відповідає умові "мати довжину принаймні ", як вимагає лема. $p$ $L$ $p$ $L$ $L$ $L$ $p$

Наслідок: якщо має довжину накачування , а існує слово довжиною принаймні , то нескінченно. $L$ $p$ $w\in L$ $p$ $L$

— Ран Г.
джерело

2

Гарний екземпляр порожнього набору, що виконує

заяви.

\forall

$\forall$

— Рафаель

7

Насосна лема зазвичай використовується на нескінченних мовах, тобто на мовах, що містять нескінченну кількість слів. Для будь-якої кінцевої мови , оскільки вона завжди може бути прийнята DFA з обмеженою кількістю стану, повинен бути регулярним. $L$ $L$

Відповідно до wikipedia ( http://en.wikipedia.org/wiki/Pumping_lemma_for_regular_languages#Formal_statement ), накачана лема говорить: $\begin{array}{l} (\forall L\subseteq \Sigma^*) \\ \quad (\mbox{regular}(L) \Rightarrow \\ \quad ((\exists p\geq 1) ( (\forall w\in L) ((|w|\geq p) \Rightarrow \\ \quad\quad ((\exists x,y,z \in \Sigma^*) (w=xyz \land (|y|\geq 1 \land |xy|\leq p \land (\forall i\geq 0)(xy^iz\in L)))))))) \end{array}$

Для будь-якої кінцевої мови , нехай - максимальна довжина слів у , і у перекачувальній лемі буде . Лімма накачки виконується, оскільки в немає слів , довжина яких . $L$ $l_{max}$ $L$ $p$ $l_{max}+1$ $L$ $\geq l_{max}+1$

— Ву Інь
джерело

2

Один із способів формалізувати основну частину накачки леми - це, використовуючи : $L^{\geq k} = \{ w \in L \mid |w| \geq k\}$

Якщо регулярний, існує так що $L$ $p \in \mathbb{N}$

(*). $\qquad \displaystyle \forall w \in L^{\geq p}.\ \exists x,y,z \dots$

Для всіх кінцевих і , очевидно, що . Тому (*) є (вакуумно) справедливим для такого . $L$ $p > \max \{ |w| \mid w \in L\}$ $L^{\geq p} = \emptyset$ $p$

— Рафаель
джерело