Варіант проблеми з рюкзаком

Як би ви підходили до проблеми рюкзака в ситуації динамічного програмування, якщо вам зараз доведеться обмежувати кількість предмета в рюкзаку постійним ? Це та сама проблема (максимальна вага , кожен предмет має значення і вагу ), але ви можете додати до лише елементи і, очевидно, потрібно оптимізувати значення рюкзака.$p$$W$$v$$w$$p$

Чи потрібен нам 3-й вимір чи ми можемо знайти інший підхід без нього. Я намагався просто додати кількість предмета в рюкзаку в комірці і взявши максимальне значення в кінці з номером елемента <= але це не найкраще рішення.$p$

Дуже приємне запитання!

Ви вдвічі праві:

1. Поширення кількості предметів у рюкзаку не призводить до оптимальних рішень.
2. Одне рішення полягає у додаванні третього виміру. Це досить просто, але потрібно враховувати деякі факти, роблячи це. Однак зауважте, що це не єдина альтернатива

Далі я припускаю, що ви знайомі з рішенням, заснованим на динамічному програмуванні. Зокрема, я не буду обговорювати, як пересувати таблицю назад, щоб визначити рішення .

Спершу зупинимось на типовому випадку: кількість предметів необмежена . У цьому випадку ви просто побудуєте таблицю де містить оптимальне значення, коли загальна ємність рюкзака дорівнює і враховуються лише перші елементи. Звідси:$T$$T_{i,j}$$i$$j$

$T_{i,j} =\max\{T_{i,j-1}, T_{i-w_j,j-1}+v_j\}$

де і означають вагу і значення -го елемента відповідно. Якщо - це загальна ємність вашого рюкзака, а в ньому всього елементів, то оптимальне рішення дає . Цей алгоритм, як відомо, працює в псевдополіномічний час, і одна з його красунь полягає в тому, що він розглядає лише ті комбінації, які відповідають максимальній потужності.$w_j$$v_j$$j$$C$$N$$T_{C, N}$

Однак цього недостатньо при додаванні обмежень: максимальна кількість елементів . Причина полягає в тому, що попередня формула повторення не враховує різні комбінації елементів:$p$

1. По-перше, якщо тоді так що в -й елемент додається в рюкзаку, не дивлячись на максимальну кількість елементів , що розглядаються --- так що ви могли б порушувати ваше обмеження. Що ж, вас може спокусити застосувати попередню формулу, відслідковуючи кількість елементів, вставлених на кожному кроці, і не додавати інших, якщо кількість предметів, які в даний час знаходяться в рюкзаку, перевищує але,$T_{i,j-1}<(T_{i-w_j,j-1}+v_j)$$T_{i,j}=(T_{i-w_j,j-1}+v_j)$$j$$p$$p$
2. По-друге, якщо тоді так що цей елемент не додається, але це може бути великою помилкою, якщо оптимальне рішення вже складається з максимальної кількості предметів, які потрібно вставити в рюкзак. Причина в тому, що ми не порівнюємо належним чином: з одного боку, зберегти оптимальне рішення, що складається з предметів, вибраних серед попередніх ; з іншого боку, для вставки -го елемента та додатково розглянути кращий підмножина з елементів серед попередніх .$T_{i,j-1}>(T_{i-w_j,j-1}+v_j)$$T_{i,j}=T_{i,j-1}$$T_{i,j-1}$$p$$(j-1)$$j$$(p-1)$$(j-1)$

Так що перше рішення складається з додавання третього виміру. У вашому випадку, нехай є оптимальним рішенням, коли ємність рюкзака , вважаються лише перші елементи, і заборонено поміщати більше, ніж предметів у рюкзак. Тепер,$T_{i, j, k}$$i$$j$$k$

• Якщо ви обчислюєте для ряду елементів, суворо менших або рівних кількості елементів, які можна вставити ( ), продовжуйте, як зазвичай, але використовуючи те саме значення :$T_{i, j, k}$$j\leq k$$k$$T_{i,j,k} =\max\{T_{i,j-1,k}, T_{i-w_j,j-1,k}+v_j\}$
• Тепер, якщо вам доведеться обчислити для кількості елементів, строго більших за кількість елементів, які можна вставити ( ), тоді:$T_{i, j, k}$$j> k$$T_{i,j,k} =\max\{T_{i,j-1,k}, T_{i-w_j,j-1,k-1}+v_j\}$

Перший вираз повинен бути чітким. Другий працює, оскільки -й шар таблиці відстежує найкраще поєднання елементів серед перших як вимагається вище.$(k-1)$$T$$(k-1)$$(j-1)$

Для ефективної реалізації цього алгоритму не потрібно обчислювати для всіх . Зауважте, що попередні співвідношення рецидивів стосуються шару з і, таким чином, можливо чергувати два послідовних шари (наприклад, якщо ви зацікавлені в оптимальному рішенні з ви просто використовуєте два послідовних шари: 0 і 1, 1 і 2, 2 і 3, 3 і 4, і ви закінчили). Іншими словами, цей алгоритм займає вдвічі більше пам’яті, необхідного традиційному підходу, заснованому на динамічному програмуванні, і, таким чином, він все ще може працювати в псевдополіномічний час.$T_{i, j, k}$$k$$k$$(k-1)$$k=4$

Однак майте на увазі, що це не єдине рішення! І є ще одна, яку ви можете виявити більш елегантною. У попередніх формулах ми знайшли оптимальне рішення, яке складалося з не більше пунктів серед перших як . Однак має бути зрозуміло, що це точно дорівнює лише за допомогою оригінальної таблиці !! Тобто, оптимальне рішення, що містить не більше елементів, можна також знайти, розглядаючи оптимальні рішення з 1 пунктом, 2 предметами, 3 предметами, ...$(k-1)$$(j-1)$$T_{i, j-1, k-1}$$\max\limits_{p=0,j-1}\{T_{i, p}\}$$k$$(j-1)$items ... Для того, щоб ця формулювання працювала, ви також повинні відслідковувати кількість елементів, що розглядаються у кожному частковому рішенні, так що вам знадобиться два цілих числа на комірку. Це заняття пам’яттю призводить до точно таких же вимог до пам'яті, як алгоритм, показаний вище (використовуючи третій вимір у вигляді шарів )$k$ .

Сподіваюся, це допомагає,