Алгоритм Бжозовського для мінімізації DFA

Алгоритм мінімізації DFA Бжозовського будує мінімальний DFA для DFA $G$ шляхом:

1. перевернути всі ребра в $G$ , перетворивши початковий стан у стан прийняття, а стан прийняття - початковий, щоб отримати NFA $N'$ для зворотної мови,
2. використовуючи побудову живлення, щоб отримати $G'$ для зворотної мови,
3. обернення ребер (і початковий прийняття підкачки) в $G'$ щоб отримати NFA $N$ для мови оригіналу, і
4. $G_{\min}$

Звичайно, оскільки деякі DFA мають велику експоненціальну велику зворотну DFA, цей алгоритм працює в експоненціальному часі, в гіршому випадку, з точки зору розміру вхідних даних, тому давайте відстежуємо розмір зворотного DFA.

Якщо - розмір вхідної DFA, - розмір мінімальної DFA, а - розмір мінімального зворотного DFA, то який час виконання алгоритму Бжозовського з точки зору , та ?$N$$n$$m$$N$$n$$m$

Зокрема, за яких взаємозв'язків між та алгоритм Бжозовського перевершує алгоритми Хопкрофта чи Мура?$n$$m$

Я чув, що на типових прикладах у практиці / застосуванні алгоритм Бжозовського перевершує інші. Неформально, що це за типові приклади?

Ось частковий відповідь щодо вашого третього запитання. Насправді, можливо, алгоритм Бжозовського дійсно не перевершує всі інші алгоритми так чітко в мінімізації DFA.

У роботі [1] автори досліджують практичну ефективність алгоритмів мінімізації DFA / NFA. Алгоритми - це Хопкрофт, Бжозовський та два варіанти Ватсона. Вони роблять висновок, що чіткого переможця немає, але алгоритм Хопкрофта працює краще для DFA з малими алфавітами. Що стосується НФА, то Бжозовський, очевидно, найшвидший.

Сам папір досить короткий і чітко написаний. Також можуть бути корисні додаткові дискусії та посилання.

[1] Алмейда М., Морейра Н. та Рейс Р. Про ефективність алгоритмів мінімізації автоматів, четверта конференція з обчислюваності в Європі, червень 2008 року.

Більшість нижче наведені з теорії Парсінга Сіппу та Сойсалона-Сойнінена.

Нехай - сукупність станів DFA. Нехай T - вхідний алфавіт. Нехай | М | = O ( | T | ⋅ | Q | ) - розмір машини. Вправа 3.40 дає алгоритм O ( | T | ⋅ | Q | 2 ) для мінімізації стану. Як описує Вікіпедія , алгоритм Хопкрофта має час роботи O ( | T | ⋅ | Q | ⋅ $Q$$T$$|M|=O(|T| \cdot |Q|)$$O(|T|\cdot|Q|^2)$ і алгоритм Мура має час роботи O ( | T | 2 ⋅ | Q | ) .$O(|T| \cdot |Q| \cdot \log|T|)$$O(|T|^2 \cdot |Q|)$

У теоремі 3.30 зазначено, що побудова підмножини може бути виконана в отримуючи автоматику розміром O ( 2 | T | + log | Q | ) (насправді, якщо отриманий автомат має | T ′ | стани, час роботи - ( | T ′ | + | T | ⋅ |$O(2^{|T|+\log|T|+\log|Q|})$$O(2^{|T|+\log|Q|})$$|T'|$). Отож, два обертання та друге визначення визначаються непослідовними у часі виконання, тому асимптотичний час роботи алгоритму Бжозовського такий же, як і для побудови підмножини.$(|T'| + |T|\cdot|M|) \cdot |Q|$

Це означає, що в гіршому випадку алгоритм Бжозовського експоненціально повільніше, ніж інші три алгоритми. Зауважимо, що найгірший випадок дійсно має місце: класичний приклад NFA для мови має k + 1 стани, а відповідний мінімум DFA має стан O ( 2 k ) , тоді як зворотний NFA є детермінованим, тому виконання алгоритму Бржозовського на цій перевернутій NFA запускає найгіршу поведінку.$(a|b)^*a^k$$k+1$$O(2^k)$

Однак якщо конструкція підмножини дає автоматизатори розміру , тоді його час роботи також є O ( | T | 2 ⋅ | Q | 2 ) , що часто трапляється на ресурсах реального життя. Крім того, якщо дотримуватися належної обережності при обчисленні закриття стану, то це в більшості випадків можна зробити набагато швидше (тобто у випадках, коли закриття невелике), економлячи фактор | Т $|T'|=O(|T|)$$O(|T|^2 \cdot |Q|^2)$$|T|$на практиці (з тієї ж причини, що транзитивні закриття можна досить швидко обчислити на прикладах реального світу). Крім того, якщо вхідні та проміжні автомати є рідкісними, а значить, у станів мало переходів, то фактор зберігається, що дає час ( O | | T | ⋅ | Q | ) час роботи на "хороших" входах.$|Q|$$O(|T| \cdot |Q|)$

На жаль, я недостатньо знайомий з алгоритмами Хопкрофта або Мура, щоб дати аналіз їх часу роботи в типових випадках. У деяких випадках Вікіпедія розповідає про час роботи , що зробить три алгоритми порівнянними.$O(|T| \log \log |T|)$

Де Феліс і Ніко показують, що алгоритми Бжозовського є асимптотично гіперполіномами. Девід показав, що для кількох розподілів на кінцеві стани алгоритм Хопкрофта повільніше, ніж алгоритм Мура.

Список літератури

С. Де Феліс та К. Ніко, "Алгоритм Бржозовського є загально суперполіномом для детермінованих автоматів". У працях 17-ї міжнародної конференції з розвитку мовної теорії (DLT 2013) , Записки лекцій з інформатики, стор. 170–190, 2013. ( PDF )

Дж. Девід, "Середня складність алгоритмів Мура та Хопкрофта". Теоретичні інформатики , 417: 50–65, 2012. ( Science Direct )