Важка обчислювальна задача на спеціальному класі двосторонніх графіків

Мене цікавлять властивості класу двопартійних графіків $G(X \cup Y, E)$ де всі вузли в $X$ 3-регулярні, всі вузли в $Y$ - 2-регулярні, і $|X|=|2Y/3|$. По-перше, це добре відомий клас графіків? По-друге,

Чи є приклад нерозв'язної обчислювальної задачі, обмеженої цим класом двосторонніх графіків?

Враховуючи 3-регулярний графік ви можете побудувати двосторонній графік G ′ з необхідними властивостями вибору X = V і Y = E і для кожного краю e k = ( u i , u j ) ∈ E додати ребра ( u i , e k ) , ( e k , u j$G = \{V,E\}$$G'$$X = V$$Y = E$$e_k = (u_i,u_j) \in E$$(u_i, e_k), (e_k, u_j)$. Тому я думаю, що ви можете знайти деякі складні проблеми, починаючи з важких проблем на 3-х регулярних графіках.

Наприклад, ІЗОМОРФІЗМ SUBGRAPH NP-важкий для вашого класу графіків.

Зменшення відбувається від циклу Гамільтона на 3-регулярних графах: задавши 3-регулярний графік , побудуйте відповідний G ′ = { X ∪ Y , E ′ } і перевірте на підграф H ′, який є замкнутим простим циклом довжиною 2 | V | . G ' має підграф, ізоморфний H ' тоді і тільки тоді, коли G має гамільтонів цикл.$G$$G' = \{X \cup Y, E'\}$$H'$$2|V|$$G'$$H'$$G$

Ці графіки - це графіки частоти кубічних графіків, які називаються також 2-розтяжками 3-регулярних графіків. Напишу для падіння графа  G .$I(G)$$G$

З огляду на графік  і ціле число  K , це NP-повної , щоб визначити , якщо G «s число перетину не перевищує  до (тобто, є чи G може бути звернено в площині в більшості  K ребер , які перетинають один одного), навіть якщо G  є може бути кубічним. Очевидно, що на номер перетину не впливає додавання додаткової вершини посередині кожного краю. (Джерело: Гліні, "Перетинає число важко для кубічних графіків", Дж. Комбін. ​​Теор. B 96 (4): 455–471; DOI .)$G$$k$$G$$k$$G$$k$$G$

Можливо, що проблема пропускної здатності для цих графіків є NP-повною, оскільки вона є NP-повною для дерев, де кожна вершина має ступінь не більше трьох. (Джерело: Проблема GT40 в Garey і Johnson для загальних графів, низького ступеня дерев, Garey, Graham, Джонсон і Кнут, "Результати мінімізації складності для смуги пропускання", SIAM J. Appl Math .. 34: 477-495; CiteSeer . )

На кубічних графах залишаються різні проблеми, повні з NP, і це призводить до повних задач NP на відповідних графах випадковості. Наприклад, запитання, чи має кубічний графік  домінуючий набір розміру не більше  k , еквівалентно запиту, чи I ( G ) є об'єднанням не більше  k копій I ( K 1 , 3 ) . Так само незалежний набір у кубічному графіку відповідає набору розрізнених копій I ( K 1 , 3 ) в I ( G ) .$G$$k$$I(G)$$k$$I(K_{1,3})$$I(K_{1,3})$$I(G)$