Поширена ідея у множенні Карацуби, Гаусса та Страссена

19

Ідентичності, використані в алгоритмах множення на

Карацуба (цілі числа)
Гаус (складні числа)
Strassen (матриці)

здаються дуже тісно пов'язаними. Чи існує спільна абстрактна рамка / узагальнення?

algorithms matrices

— sdcvvc
джерело

3

Подивіться на асимптотичну суму нерівності Шенхаге.

— Yuval Filmus

Про які особи ви говорите? Ми повинні прочитати всі три статті, щоб відповісти? Будь ласка, додайте відповідну інформацію до свого питання.

— Рафаель

1

@Raphael: Тотожності, які є основою алгоритмів, виражають 4 множення чисел з 3 множеннями, і 8 матричних множень з 7.

— sdcvvc

5

Класичний фреймворк - це білінеарний алгоритм і тензорні декомпозиції; в основному ви будуєте 3-х напрямковий тензор, пов'язаний з білінеарною картою , в основі коефіцієнтів, а потім шукаєте його декомпозицію як суму тензорів рангового рангу (тобто , ті форми ). Ви знайдете це більш докладно, наприклад, у цій статті Блазера або в книзі Бюргіссера, Клаузена, Шокроллахі, теорії складності алгебраїків . $f(A,B) = A \cdot B$ $T_{i,j,k} = u_i v_j w_k$

Наскільки я розумію, переформулювання з точки зору групових репрезентацій, про які згадує Суреш у своїй відповіді, є пізнішим, і я вважаю його менш підходящим для першого підходу до теми (але, звичайно, це може бути упередженим з мого боку ).

— Федеріко Полоні
джерело

1

Це правильна відповідь. Один аспект, якого не вистачає, - це тензоризація / ділення-і-перемога, яка стоїть як за алгоритмом Карацуби, так і за швидкими (квадратними) алгоритмами множення матриці.

— Yuval Filmus

8

Часткова відповідь на ваше запитання - групово -теоретичний підхід, який спочатку розробили Кон і Уман, а далі розробили Кон, Клейнберг, Сегеді та Уманс. Він може "начебто" захопити Страссена та Копперсміта-Винограда для матричного множення.

— Суреш
джерело

Це справді не вдається пропустити суть. Груповий теоретичний підхід - це насправді лише один із способів створення подібних ідентичностей.

— Yuval Filmus