Знайдіть медіану несортованого масиву за

Для того, щоб знайти медіану несортованого масиву, ми можемо зробити міні-кучу в час для елементів, а потім можемо витягти один за одним елементів, щоб отримати медіану. Але такий підхід зайняв би час. $O(n\log n)$ $n$ $n/2$ $O(n \log n)$

Чи можемо ми зробити це тим чи іншим методом за час? Якщо ми можемо, то як? $O(n)$

algorithms time-complexity

— Лув
джерело

en.wikipedia.org/wiki/Selection_algorithm

— Jukka Suomela

@JukkaSuomela Чому б не зробити це швидкою та простою відповіддю (з коротким поясненням одного такого алгоритму, в ідеалі)?

— Рафаель

Зверніть увагу на відповідну мета-дискусію ; як виявляється, прості пошуки в Інтернеті призводять до відповіді на це питання.

— Рафаель

stackoverflow.com/questions/2571358/median-of-a-billion-numbers

— Євген

Відповіді:

Це особливий випадок алгоритму вибору, який може знайти й найменший елемент масиву з - половину розміру масиву. Існує реалізація, лінійна в гіршому випадку. $k$ $k$

Загальний алгоритм відбору

Спочатку давайте подивимось алгоритм, find-kthякий знаходить й найменший елемент масиву: $k$

find-kth(A, k)
  pivot = random element of A
  (L, R) = split(A, pivot)
  if k = |L|+1, return pivot
  if k ≤ |L|  , return find-kth(L, k)
  if k > |L|+1, return find-kth(R, k-(|L|+1))

Функція split(A, pivot)повертає L,Rтаким чином, що всі елементи Rбільше , ніж pivotта Lвсі інші (мінус один входження pivot). Потім все робиться рекурсивно.

Це в середньому , але в гіршому випадку. $O(n)$ $O(n^2)$

Лінійний гірший випадок: алгоритм медіани медіани

Кращим стрижнем є медіана всіх медіанів підмасивів Aрозміром 5, використовуючи виклик процедури на масив цих медіанів.

find-kth(A, k)
  B = [median(A[1], .., A[5]), median(A[6], .., A[10]), ..]
  pivot = find-kth(B, |B|/2)
  ...

Це гарантує у всіх випадках. Це не так очевидно. Ці слайди Powerpoint корисні як для пояснення алгоритму, так і для складності. $O(n)$

Зауважте, що більшість часу за допомогою випадкового стрижня відбувається швидше.

— jmad
джерело

Це 5стандарт розміру ? Що робити, якщо розмір A менше 5?

— Jayesh

Для будь-якого фіксованого n складність є постійною, якщо вона не є нескінченною. Отже, ви можете використовувати будь-який дійсний алгоритм з обмеженою складністю для такого особливого випадку, навіть якщо це був O (2 ^ n). Для фіксованого n (тобто максимум 4 на випадок), складність становить максимум O (2 ^ 4) = O (1).

— v6ak

Щодо першого алгоритму: return A[k]невірно (якщо тільки Aне відсортовано, що зробить алгоритм спірним). Якщо splitтрапилося поділити Aтаке, що k = |L| + 1ви досі не знаєте, де знаходиться цей kелемент. Ваш базовий випадок - коли |A| = 1ще потрібно здійснити один з двох рекурсивних дзвінків.

— wcochran

@NickCaplinger виправлено за допомогою web.archive.org

— jmad

Чи не найгірший випадок для алгоритму загального вибору O (NlogN)? Навіть якщо рекурсивний виклик залишає лише 10% масиву після кожного дзвінка, то це все-таки логарифм в основі 10.

— октавіан

$n^{-1/4}$ $O(n)$

Основна ідея алгоритму - використовувати вибірку. Ми повинні знайти два елементи, які розташовані близько один від одного в упорядкованому порядку масиву і мають середнє значення між ними. Для повної дискусії див. Посилання [MU2017].

[MU2017] Майкл Міценмахер та Елі Упфаль. "Імовірність та обчислення: рандомізація та ймовірнісні методи в алгоритмах та аналізі даних", глава 3, стор. 57-62. Cambridge University Press, друге видання, 2017.

— здм
джерело