Чи є доповненням {ww | …} Без контексту?

Визначте мову як L = { a , b } ∗ - { w w ∣ w ∈ { a , b } ∗ } . Іншими словами, L містить слова, які не можуть бути виражені як слово, повторене двічі. Є чи L контекстно-вільний чи ні?$L$$L = \{a, b\}^* - \{ww\mid w \in \{a, b\}^*\}$$L$$L$

Я намагався до перетину з на * б * на * б * , але я до сих пір не можу нічого довести. Я також дивився на теорему Париха, але це не допомагає.$L$$a^*b^*a^*b^*$

Це без контексту. Ось граматика:

A → a | a A a | a A b | b A b | b A a B → b | a B a | a B b | b B b | б Б $S \to A | B|AB|BA$
$A \to a|aAa|aAb|bAb|bAa$
$B \to b|aBa|aBb|bBb|bBa$

породжує слова непарної довжини з а в центрі. Те саме для B і b .$A$$a$$B$$b$

Я представлю доказ того, що ця граматика правильна. Нехай (мова у питанні).$L = \{a,b\}^* \setminus \{ww \mid w \in \{a,b\}^*\}$

Теорема. . Іншими словами, ця граматика породжує мову у питанні.$L = L(S)$

Доказ. Це , звичайно , має місце для всіх непарних слів довжини, так як ця граматика породжує все непарні довжини слів, як це робить . Тож давайте зосередимось на словах рівної довжини.$L$

Припустимо, має рівну довжину. Я покажу, що x ∈ L ( G ) . Зокрема, я стверджую, що x можна записати у вигляді x = u v , де і u, і v мають непарну довжину і мають різні центральні літери. Таким чином, x може бути похідний або від A B, або B A (відповідно до того , що центральна буква u є a або b ). Обґрунтування позову: Нехай i- й лист $x \in L$$x \in L(G)$$x$$x=uv$$u$$v$$x$$AB$$BA$$u$$a$$b$$i$$x$позначати , так що x = x 1 x 2 ⋯ x n . Тоді оскільки x не знаходиться в { w w ∣ w ∈ { a , b } n / 2 } , повинен існувати якийсь індекс i такий, що x i ≠ x i + n / 2 . Отже, ми можемо взяти u = x 1 ⋯ x 2 i $x_i$$x = x_1 x_2 \cdots x_n$$x$$\{ww \mid w \in \{a,b\}^{n/2}\}$$i$$x_i \ne x_{i+n/2}$ іv= x 2 i ⋯ x n ; центральною літероюuбуде x i , а центральною літероюvбуде x i + n / 2 , тому за побудовоюu,vмають різні центральні літери.$u = x_1 \cdots x_{2i-1}$$v = x_{2i} \cdots x_n$$u$$x_i$$v$$x_{i+n/2}$$u,v$

Далі припустимо, що має рівну довжину. Я покажу , що ми повинні мати х ∈ L . Якщо х має рівну довжину, вона має бути похідною або від A B, або B A ; без обмеження спільності, припущу , що виводиться з A B , і х = у v , де у виводимо з А і V виводимо з B . Якщо u , v мають однакові довжини, тоді ми повинні мати u $x \in L(G)$$x \in L$$x$$AB$$BA$$AB$$x=uv$$u$$A$$v$$B$$u,v$ (оскільки вони мають різні центральні букви), так x ∉ { w w ∣ w ∈ { a , b } ∗ } . Отже, припустимо, що u , v мають різну довжину, скажімо, довжина ℓ і n - ℓ відповідно. Тоді їх центральними літерами є u ( ℓ + 1 ) / 2 і v ( n - ℓ + 1 ) / 2 . Те, що$u\ne v$$x \notin \{ww \mid w \in \{a,b\}^*\}$$u,v$$\ell$$n-\ell$$u_{(\ell+1)/2}$$v_{(n-\ell+1)/2}$ мають різні центральні літери, означає, що u ( ℓ + 1 ) / 2 ≠ v ( n - ℓ + 1 ) / 2 . Оскільки x = u v , це означає, що x ( ℓ + 1 ) / 2 ≠ x ( n + ℓ + 1 ) / 2 . Якщо ми спробуємо розкласти х як x = w $u,v$$u_{(\ell+1)/2} \ne v_{(n-\ell+1)/2}$$x=uv$$x_{(\ell+1)/2} \ne x_{(n+\ell+1)/2}$$x$ Де w , w ' мають однакову довжину, тоді ми виявимо, що w ( ℓ + 1 ) / 2 = x ( ℓ + 1 ) / 2 ≠ x ( n + ℓ + 1 ) / 2 = w ′ ( ℓ + 1 ) / 2 , тобто w ≠ w ′ , так x ∉ { w $x=ww'$$w,w'$$w_{(\ell+1)/2} = x_{(\ell+1)/2} \ne x_{(n+\ell+1)/2} = w'_{(\ell+1)/2}$$w\ne w'$ . Зокрема, це означаєщо х ∈ L .$x \notin \{ww \mid w \in \{a,b\}^*\}$$x \in L$

Ця мова без контексту, це було доведено в наступній роботі:

Томашевський, Зах. "Граматика без контексту для повторного рядка." Журнал інформації та інформатики , 2012 ( PDF ).