Оцінка середньої трудомісткості часу заданого алгоритму розгалуження.

11

Враховуючи цей псевдо-код бульбашки:

FOR i := 0 TO arraylength(list) STEP 1  
    switched := false
    FOR j := 0 TO arraylength(list)-(i+1) STEP 1
        IF list[j] > list[j + 1] THEN
            switch(list,j,j+1)
            switched := true
        ENDIF
    NEXT
    IF switched = false THEN
        break
    ENDIF
NEXT

Які основні ідеї я повинен мати на увазі, щоб оцінити середню часову складність? Я вже завершив обчислення найгірших та найкращих випадків, але я застряг, роздумуючи, як оцінити середню складність внутрішньої петлі, сформувати рівняння.

Найгірше рівняння:

\sum_{i = 0}^{н} (\sum_{j = 0}^{н - (i + 1)} О (1) + О (1)) = О (\frac{н^{2}}{2} + \frac{н}{2}) = О (н^{2})

$\sum_{i=0}^n \left(\sum_{j=0}^{n -(i+1)}O(1) + O(1)\right) = O(\frac{n^2}{2} + \frac{n}{2}) = O(n^2)$

в якій внутрішня сигма являє собою внутрішню петлю, а зовнішня сигма - зовнішню петлю. Я думаю, що мені потрібно змінити обидві сигми через клаузу "if-then-break", яка може вплинути на зовнішню сигму, але також через клавішу if у внутрішньому циклі, що вплине на дії, здійснені під час циклу (4 дії + 1 порівняння, якщо це правда, інакше лише 1 порівняння).

Для уточнення терміна "середній час": Цей алгоритм сортування потребуватиме різного часу в різних списках (однакової довжини), оскільки алгоритму може знадобитися більше чи менше кроків через / в циклі, поки список повністю не буде в порядку. Я намагаюся знайти математичний (не статистичний спосіб) оцінювання середнього рівня необхідних раундів.

Для цього я очікую, що будь-яке замовлення має однакову можливість.

— Сім
джерело

6

спочатку потрібно визначити, що середнє значення означає навіть. Оскільки алгоритм є детермінованим, вам доведеться припустити якийсь розподіл по вхідних даних.

— Суреш

@Sim Чи можете ви показати, як ви обчислили найгірші часові складності? Тоді ми можемо отримати уявлення про те, що ви маєте на увазі під середньою складністю у вашому випадку.

— 0х0

Я маю на увазі середній час у спосіб найбільш вірогідного часу, необхідного (або іншими словами, "чистого" математичного варіанту: середнього значення всіх спостережуваних часів, роблячи статистичний аналіз). Наприклад, quicksort має середнє значення nlogn, хоча найгірший випадок - n ^ 2.

— Сім

1

@Sim У випадку з бульбашкою сортування середній випадок = найгірший час складності часу, тобто середній випадок Складність часу також

n^{2}

$n^2$

— 0x0

3

Є різниця. quicksort усереднюється "над вибором монетних кидок при виборі стрижня", що не має нічого спільного з даними. В той час, як ви маєте на увазі, що ви хочете, щоб в середньому "над усіма входами", що передбачає (наприклад), що ви очікуєте, що кожне впорядкування вводу буде відбуватися з однаковою ймовірністю. це розумно, але це слід вказати прямо.

— Суреш

9

Для списків довжини середнє зазвичай означає, що вам потрібно починати з рівномірного розподілу на всі перестановки [ , .., ]: це будуть всі списки, які ви повинні врахувати. $n$ $n!$ $1$ $n$

Ваша середня складність тоді буде сумою кількості кроків для всіх списків, поділених на . $n!$

Для даного списку , кількість кроків вашого алгоритму дорівнює де - найбільша відстань між елементом та його правильним розташуванням (але лише якщо він повинен рухатися ліворуч), є . $(x_i)_i$ $nd$ $d$ $x_i$ $i$ $\max_i(\max(1,i-x_i))$

Тоді ви займаєтеся математикою: для кожного знайдіть число списків з цією максимальною відстані, тоді очікуване значення дорівнює: $d$ $c_d$ $d$

\frac{1}{н!} \sum_{г = 0}^{н} г c_{г}

$\frac1{n!}\ \sum_{d=0}^n{\ dc_d}$

І це основні думки без найважчої частини, яка є знаходженням . Можливо, є більш просте рішення. $c_d$

EDIT: додано `очікувано '

— jmad
джерело

Якщо ви вважаєте нормальним розподіл, чи існує спосіб наближення

?

c_{d}

$c_d$

— Сім

Можна сказати

тому що ви можете змішати будь-де всі перестановки [

, ..,

] та додати

в кінці, але це мало, щоб довести в середньому.

c_{d} \geq (n + 1 - d) (d - 1)!

$c_d≥(n+1-d)(d-1)!$

2

$2$

d

$d$

1

$1$

n ²

$n²$

— jmad

19

Нагадаємо, що пара (відповідно ) перевернута, якщо і . $(A[i], A[j])$ $(i,j)$ $i < j$ $A[i] > A[j]$

Якщо припустити, що ваш алгоритм виконує одну підміну для кожної інверсії, час роботи вашого алгоритму буде залежати від кількості інверсій.

Обчислити очікувану кількість інверсій в рівномірну випадкову перестановку:

Нехай перестановка, і нехай буде зворотним . Наприклад, якщо то . $P$ $R(P)$ $P$ $P = 2,1,3,4$ $R(P) = 4,3,1,2$

Для кожної пари індексів існує інверсія точно в одному з або . $(i,j)$ $P$ $R(P)$

Оскільки загальна кількість пар дорівнює , а загальна кількість і кожна пара перевернуті рівно в половину перестановок, якщо вважати, що всі перестановки є однаково вірогідними, очікувана кількість інверсій: $n(n-1)/2$

\frac{н (н - 1)}{4}

$\frac{n(n-1)}{4}$

— Джо
джерело

це оцінює кількість інверсій. але як про кількість порівнянь , яке залежить від часу обкатки застереження ступінчастою в

— Sim

Ви отримуєте одне порівняння свопом, і головне, що один своп може зменшити кількість інверсій щонайменше на одну.

— jmad

не кожне порівняння призводить до заміни, якщо клавіша if-значення помилкова, інверсія не робиться.

— Сім

@rgrig Якщо ви надаєте зустрічний приклад, я виправлю свою відповідь.

— Джо

@Joe: я видалив свій коментар. Це було неправильно.

— rgrig

2

Кількість свопів <Кількість повторень (як в оптимізованому, так і у простому сценарії з бульбашкою)

Кількість інверсій = Кількість свопів.

$\frac{n(n-1)}{4}$

$\omega(n^2)$ $O(n^2)$

$\theta(n^2)$

(Час складності = Кількість ітерацій, кількість ітерацій> кількість замінів)

— куш
джерело

0

в цьому документі середня часова складність сортування бульбашок досягла O (nlog (n))! http://algo.inria.fr/flajolet/Publications/ViFl90.pdf

— user84630
джерело

1

n^{2} / 2

$n^2/2$