Коли я можу використовувати динамічне програмування, щоб зменшити часову складність мого рекурсивного алгоритму?

Динамічне програмування може скоротити час, необхідний для виконання рекурсивного алгоритму. Я знаю, що динамічне програмування може допомогти зменшити складність часу алгоритмів. Чи загальні умови такі, що при задоволенні рекурсивного алгоритму буде означати, що використання динамічного програмування зменшить складність часу алгоритму? Коли я повинен використовувати динамічне програмування?

Динамічне програмування корисно, якщо ваш рекурсивний алгоритм багато разів доходить до одних і тих же ситуацій (вхідних параметрів). Існує загальна трансформація з рекурсивних алгоритмів в динамічне програмування, відоме як пам'ятка , в якій є таблиця, в якій зберігаються всі результати, коли-небудь обчислені вашою рекурсивною процедурою. Коли рекурсивна процедура викликається на наборі входів, які вже були використані, результати просто вибираються з таблиці. Це зводить рекурсивні Фібоначчі до ітеративних Фібоначчі.

Динамічне програмування може бути ще розумнішим, застосовуючи більш конкретні оптимізації. Наприклад, іноді немає необхідності зберігати всю таблицю в пам'яті в будь-який момент часу.

Якщо ви просто прагнете прискорити рекурсивний алгоритм, запам'ятовування може бути достатньо. Це техніка зберігання результатів викликів функцій, щоб майбутні дзвінки з тими ж параметрами могли просто використати результат. Це застосовно, якщо (і лише якщо) ваша функція

• не має побічних ефектів і
• залежить лише від його параметрів (тобто не від певного стану).

Це заощадить ваш час, якщо (і тільки якщо) функція буде викликана з тими ж параметрами знову і знову. Популярні приклади включають рекурсивне визначення чисел Фібоначчі, тобто

$\qquad \begin{align} f(0) &= 0 \\ f(1) &= 1 \\ f(n+2) &= f(n+1) + f(n) \qquad ,\ n \geq 0 \end{align}$

$f$$f(n)$$f(n+1)$

Зауважте, що, натомість, запам'ятовування є поряд із марними для таких алгоритмів, як сортування злиття: зазвичай декілька (якщо такі є) часткові списки однакові, а перевірки рівності - дорогі (сортування лише трохи дорожче!)

У практичних втіленнях спосіб зберігання результатів має велике значення для продуктивності. Використання хеш-таблиць може бути очевидним вибором, але може порушити місцевість. Якщо ваші параметри невід'ємні цілі числа, масиви є природним вибором, але можуть спричинити величезні накладні витрати на пам'ять, якщо ви використовуєте лише деякі записи. Тому запам'ятовування - це компроміс між ефектом і вартістю; чи окупається це, залежить від конкретного сценарію.

Динамічне програмування - це зовсім інший звір. Це застосовно до проблем із майном, яке

• його можна розділити на підпрограми (можливо, більш ніж одним способом),
• ці підпрограми можна вирішити самостійно,
• (оптимальні) рішення цих підпроблем можуть поєднуватися з (оптимальними) рішеннями вихідної задачі та
• підпроблеми мають однакову властивість (або тривіальні).

Це зазвичай (неявно) мається на увазі, коли люди посилаються на Принцип оптимальності Беллмана .

Тепер це лише описує клас проблем, які можуть бути виражені певним видом рекурсії. Оцінка цих питань (часто) ефективна, оскільки запам'ятовування може бути застосоване з великим ефектом (див. Вище); Зазвичай менші підпрограми виникають як частина багатьох більших проблем. Популярні приклади включають відстань редагування та алгоритм Беллмана-Форда .