Квінка в чистому лямбдальному обчисленні

Я хотів би приклад лайни в чистому обчисленні лямбда . Я був дуже здивований, що не міг знайти його по гуглінгу. На сторінці quine перераховані лайки для багатьох "справжніх" мов, але не для обчислення лямбда.

Звичайно, це означає визначити, що я маю на увазі під кволею в обчисленні лямбда, що я роблю нижче. (Я прошу щось досить конкретне.)

У деяких місцях, наприклад, Ларкін і Запаси (2004), я бачу таке, що цитується як "самовідтворюється" вираз: . Це зводиться до себе після одного кроку бета-зменшення, надаючи йому якось почуття, подібне до квінта. Однак він не схожий на квоту, оскільки він не закінчується: подальше бета-скорочення продовжує створювати той самий вираз, тому воно ніколи не зводиться до нормальної форми. Для мене quine - це програма, яка закінчується і видає себе, і тому я хотів би вирази лямбда з цим властивістю. $(\lambda x.x \; x)\;(\lambda x.x \; x)$

Зрозуміло, будь-який вираз, який не містить оновлень, вже знаходиться в нормальній формі, і тому припиняється і видається сам. Але це занадто банально. Тому я пропоную таке визначення з надією, що воно визнає нетривіальне рішення:

визначення (орієнтовне): Лайда в обчисленні лямбда - це вираз форми (де означає деякий вираз обчислення лямбда), такого, що стає , або щось еквівалентне йому при зміні імен змінних, коли їх зменшують до нормальної форми, для будь-якого вводу .

(λ x . A)

$(\lambda x . A)$

A

$A$

((λ x . A) y)

$((\lambda x . A)\,\, y)$

(λ x . A)

$(\lambda x . A)$

y

$y$

Зважаючи на те, що лямбда-числення настільки ж рівноцінне Тюрінгу, як і будь-яка інша мова, здається, що це можливо, але моє обчислення лямбда іржавеє, тому я не можу привести приклад.

Довідково

Джеймс Ларкін та Філ Стокс. (2004) "Самовідтворювані вирази в обчисленні лямбда" Конференції з досліджень та практики інформаційних технологій, 26 (1), 167-173. http://epublications.bond.edu.au/infotech_pubs/158

lambda-calculus

— Натаніел
джерело

Не відповідь на моє запитання, але для моєї власної майбутньої довідки (і для майбутніх відвідувачів) корисним буде посилання на wiki.haskell.org/Combinatory_logic , в якому хтось має набагато глибші думки про лайків, ніж я.

— Натаніел

Зауважте, що квінці потрібно створити власний вихідний код . Виробництво функції, яку вона представляє, є недостатньою.

— PyRulez

@PyRulez, що таке вихідний код лямбда-виразу? Якщо це послідовність символів, тоді лямбда-вираз неможливо вивести його, і, отже, ми можемо визначити слово «quine», щоб означати щось трохи інше для лямбда-виразів, не боячись неоднозначності. З іншого боку, якщо ви вважаєте, що вихідний код є самою лямбда-експесією, то "вихідний код" і "функція, яку він представляє" - це одне і те ж. Тому я думаю, що тут я все в порядку.

— Натаніель

є церковне кодування для рядків. Ламбда-обчислювальний ряд повинен виводити церковне кодування рядків символів, що представляють його.

— PyRulez

Зрозуміло, що це не важко зробити, якщо ви визначите це саме так. Це питання стосувалося іншої речі.

— Натаніель

Відповіді:

Ви хочете, щоб термін таким, що : $Q$ $\forall M \in \Lambda$

Q M ⊳_{β} Q

$QM \rhd_\beta Q$

Я не вказуватиму жодних подальших обмежень щодо (наприклад, щодо його форми та нормалізації її норми), і я покажу вам, що він, безумовно, повинен бути ненормативуючим. $Q$

Припустимо знаходиться в нормальній формі. Оберіть (ми можемо це зробити, тому що теорему потрібно виконати для всіх ). Тоді є три випадки. $Q$ $M \equiv x$ $M$
- $Q$ - деякий атом . Тоді . Це не можна звести до . $a$ $QM \equiv ax$ $a$
- $Q$ - деяке застосування . Тоді . - це нормальна форма за гіпотезою, тому також є в нормальній формі і не зводиться до . $(RS)$ $QM \equiv (RS)x$ $(RS)$ $(RS)x$ $(RS)$
- $Q$ - деяка абстракція (якщо має бути вільним в , то для простоти ми можемо просто вибрати еквівалент будь-якій змінній тези). Тоді . Так знаходиться в нормальній формі, так . Отже, ми не можемо звести до . $(\lambda x.A)$ $x$ $A$ $M$ $\lambda$ $QM \equiv (\lambda x.A)x \rhd_\beta A[x/x] \equiv A$ $(\lambda x.A)$ $A$ $A$ $(\lambda x.A)$
Отже, якщо такий існує, він не може бути у звичайній формі. $Q$
Для повноти, припустимо, має нормальну форму, але не знаходиться в нормальній формі (можливо, вона слабо нормалізується), тобто з такий, що : $Q$ $\exists N \in \beta\text{-nf}$ $N \not\equiv Q$ $\forall M \in \Lambda$
$Q M ⊳_{β} Q ⊳_{β} N$

Тоді з також повинна існувати послідовність скорочення , оскільки: $M \equiv x$ $Qx \rhd_\beta Nx \rhd_\beta N$
- $Qx \rhd_\beta Nx$ можна тим , що . $Q \rhd_\beta N$
- $Nx$ повинен нормалізуватися, оскільки - -nf, а - просто атом. $N$ $\beta$ $x$
- Якщо повинні були нормалізуватися до чогось іншого, крім , то у є два -nfs, що неможливо через наслідки теореми Церкви-Россера. (Теорема Церкви-Россера по суті стверджує, що скорочення є злитими, як ви, напевно, вже знаєте.) $Nx$ $N$ $Qx$ $\beta$
Але зауважимо, що неможливий за аргументом (1) вище, тому наше припущення про те, що має нормальну форму, неможливо. $Nx \rhd_\beta N$ $Q$
Якщо ми дозволимо такий , то ми впевнені, що він повинен бути ненормативуючим. У цьому випадку ми можемо просто використовувати комбінатор, який виключає будь-який аргумент, який він отримує. Пропозиція Дениса працює чудово: Тоді лише у двох -редукціях: $Q$
$Q \equiv (λ z . (λ x . λ z . (x x)) (λ x . λ z . (x x)))$ $Q \equiv (\lambda z.(λx.λz.(x x)) (λx.λz.(x x)))$ $\beta$ $\begin{aligned} Q M & \equiv (λ z . (λ x . λ z . (x x)) (λ x . λ z . (x x))) M \\ ⊳_{1 β} (λ x . λ z . (x x)) (λ x . λ z . (x x)) \\ ⊳_{1 β} (λ z . ((λ x . λ z . (x x)) (λ x . λ z . (x x))) \\ \equiv Q \end{aligned}$ $\begin{align} QM &\equiv (\lambda z.(λx.λz.(x x)) (λx.λz.(x x))) M \\ & \rhd_{1\beta} (λx.λz.(x x)) (λx.λz.(x x)) \\ & \rhd_{1\beta} (λz.((λx.λz.(x x))(λx.λz.(x x))) \\ & \equiv Q \end{align}$

Цей результат не дуже дивний, оскільки ви , по суті, просите термін, який виключає будь-який аргумент, який він отримує, і це те, що я часто бачу, як прямого застосування теореми з фіксованою точкою.

— Рой О.
джерело

Якби я міг також прийняти відповідь Дениса, то я би хотів, але (після того, як я дізнався трохи більше і зміг її повністю зрозуміти), саме ця відповідь переконала мене, що цей "квітовий комбінатор" не може бути реалізований лямбда-експресія в нормальній формі.

— Натаніел

З одного боку це неможливо, тому що квінка повинна виводити власний код, а чисте лямбда-числення не має засобів для виведення результатів.

З іншого боку, якщо припустити, що отриманий термін є результатом, то кожна нормальна форма - це лайка.

Наприклад, лямбда-термін - це вже нормальна форма, тоді, якщо припустити, що його вихід є нормальною формою, то вихід - . Таким чином, є квіточкою. $(\lambda x. x)$ $(\lambda x. x)$ $(\lambda x. x)$

— Дейв Кларк
джерело

Це цікавий момент. У запитанні я спробував дати визначення того, що може вважатись нетривіальною квіточкою в обчисленні лямбда: функція, яка при застосуванні до будь-якого входу бета-редукує до себе (до заміни змінної назви). Можливо, це неможливо, але, принаймні, для мене це не очевидно.

— Натаніел

Ось пропозиція:

Ми вибираємо для точки фіксування функції . $A$ $f=\lambda t. (\lambda z.t)$

Це можна зробити за допомогою комбінатора точок фіксації та встановлення . $Y=\lambda g.((\lambda x.g\ (x\ x))\ (\lambda x.g\ (x\ x)))$ $A=Y f=(\lambda x.\lambda z.(x\ x))\ (\lambda x.\lambda z.(x\ x))$

Тепер ми покажемо, що - це квінт. Дійсно, зводиться до , тому це означає, що для будь-якого , . $A$ $A$ $\lambda z.A$ $y$ $(\lambda z.A)y \to_\beta A \to_\beta (\lambda z.A)$

— Денис
джерело

Це досить акуратно і відповідає на запитання, коли я його задавав, тому мені шкода, що його не прийняли ---, але, на жаль, я зробив невелику помилку, вказавши, що я хочу. Я насправді хочу стати при зменшенні до нормальної форми, а не тільки після кроку бета-зменшення. (Дивіться оновлене запитання, чому це пояснюється.) Це означає, що не може містити жодних повторних виправлень, тому що якщо це буде, зменшення не припиняється.

(λ z . A) y

$(\lambda z.A)\;y$

(λ z . A)

$(\lambda z.A)$

A

$A$

— Натаніел

Ах, в цьому випадку я впевнений, що це неможливо через наступну інтуїцію (не доказ, але майже): ви хочете, щоб не грало жодної ролі, оскільки це повинно працювати для кожного , тому не повинно бути вільним у . Тоді просто зводиться до . Тепер ви хочете, щоб зменшився до . Цей останній вираз не може бути нормальною формою, оскільки всередині можна знову зменшити ...

y

$y$

y

$y$

y

$y$

A

$A$

(λ z . A) y

$(\lambda z.A)y$

A

$A$

A

$A$

λ z . A

$\lambda z.A$

A

$A$

— Денис

Така поведінка не дуже дивно, тому що після "друку" знову вказівки, друк власного коду завжди можна виконати. Те, що ви запитуєте, схоже на запит у quine таким, що якщо ви виконаєте результат, він нічого не надрукує (що неможливо за визначенням).

λ - c a l c u l u s

$\lambda-calculus$

— Денис

Ах, ти прав, звичайно. Я мав це бачити. Я не впевнений, приймати вашу відповідь чи редагувати питання, щоб запропонувати краще визначення. Я трохи подумаю. (Мені все ще здається, що слід дати можливість нетривіального визначення, коли ви просите про щось, що закінчиться, але я не впевнений, як.)

— Натаніел

Хоча, сказавши це, чи справді це правда, що (я маю на увазі, що ви маєте на увазі ) не повинно бути вільним в ? Напр., може бути чимось за принципом . (Псевдокод, тому що я не впевнений, чи можливо навіть визначити оператор рівності для довільних виразів в обчисленні лямбда, але я думаю, ви бачите, що я маю на увазі.)

z

$z$

z

$z$

A

$A$

A

$A$ if z==p then return q, otherwise return q

— Натаніел