Чому ця функція обчислюється в

У моєму підручнику сказано: "Ми визначаємо функцію $f\colon \mathbb{N}\to\mathbb{N}$ наступним чином: $f(1)=2$ і $f(i+1)=2^{f(i)^{1.2}}$. Зауважимо, що дано$n$, ми можемо легко знайти в $O(n^{1.5})$ час число $i$ такий як $n$ бутерброд між $f(i)$ і $f(i+1)$. "

Як я можу переконати себе, що насправді ми можемо легко знайти $i$ в $O(n^{1.5})$час? Як$f$ визначається рекурсивно, я думаю, що ми повинні зробити обчислення $f(1),f(2),f(3)\dots f(j)$ до $f(j)\geq n$. Для того, щоб з’ясувати час, який займають ці обчислення, я думаю, що ми повинні знайти відповідну верхню межу$i$ залежить від $n$ і ми повинні знайти верхню межу часу виконання функції $x\to2^{x^{1.2}}$. Зрештою, ми можемо сподіватися показати цитовану пропозицію. На жаль, я не бачу ні одного, ні іншого.

Я забув зазначити: Зверніть увагу, що ми перебуваємо в недетермінованому контексті. Тому$f$ стверджується, що його можна обчислити в $O(n^{1.5})$ недетермінованою машиною Тюрінга.

Оскільки досить багато людей вже читали це запитання, дехто з них вважає це корисним і цікавим, але поки ніхто не відповів, я хочу надати ще деяку інформацію в контексті: цитований позов є невід'ємною частиною доказу теорема недетермінованої ієрархії часу. Докази (з твердженням) можна знайти, наприклад, у книзі Арори та Барака , але я знайшов ще чимало інших ресурсів у Мережі, які представляють те саме підтвердження. Кожен із них називає претензію легкою чи тривіальною і не пояснює, як її знайти$i$ в $O(n^{1.5})$час. Отже, або всі ці ресурси просто скопійовані з Арори та Барака, або заявка насправді не така вже й складна.

Позначимо через $|x|$ довжина числа $x$, тобто $\lfloor \log_2 x \rfloor + 1$ (для $x > 0$). Розрахунок$2^x$ вимагає часу $O(x)$ в моделі оперативної пам’яті і так обчислювальної $f(i+1)$ з $f(i)$ займає час $O(f(i)^{1.2}) = O(|f(i+1)|)$. З тих пір$f(i)$ росте швидше, ніж геометрично, загальний час обчислення $f(i+1)$ є $O(|f(i+1)|)$. Як ви вказуєте, робити це потрібно до тих пір, поки$f(i+1) \geq n$, що означає, що $f(i) < n$. Тому загальний час роботи$O(|f(i+1)|) = O(f(i)^{1.2}) = O(n^{1.2})$.

У моделі машини Тьюрінга з однією стрічкою, обчислення $2^x$ займає час $O(x\log x)$, і тому загальний час роботи $O(n^{1.2} \log n) = O(n^{1.5})$. Алгоритм обчислення$2^x$ замінює $[x]$ від $1[[x]]$ (тут $[x]$ є двійкове представлення $x$, і $[[x]]$ - двійкове представлення з використанням різних цифр $0',1'$), а потім неодноразово запускає перетворення $[[x]] \longrightarrow 0[[x-1]]$, що вимагає часу $O(|x|) = O(\log x)$.