Звичайна мова, яку DFA не приймає, має щонайбільше три штати

Опишіть звичайну мову, яку не може прийняти жодна DFA, яка має лише три штати.

Я не дуже впевнений, з чого почати, і мені було цікаво, чи хтось може дати мені якісь поради чи поради. Я розумію, що накачана лема може бути використана для доказування мови не є регулярною, але в цьому випадку вона повинна бути звичайною мовою. Якщо хтось має якісь думки, це буде вдячно.

Лемму накачування можна вказати, щоб врахувати кількість станів у DFA. Кожна мова прийнята DFA з станами, відповідає наступній накачаній лемі:$L$$p$

Кожне слово довжиною принаймні може бути розбито як , де і , такий, що для всіх .p w = x y z | х у | ≤ p | у | ≥ 1 x y i z ∈ L i ≥ $w$$p$$w=xyz$$|xy| \leq p$$|y| \geq 1$$xy^iz \in L$$i \geq 0$

Ви можете використовувати цю характеристику, щоб довести, що мова вимагає стану .p + $\{0^p\}$$p+1$

Інший метод полягає у використанні теореми Міхілла - Нерода. Два слова є нееквівалентний (щодо деякого мови ) , якщо для деякого слова , або і або навпаки. Теорема Міхілла - Нерода стверджує, що якщо є парно нееквівалентних слів, то кожен DFA для має щонайменше станів. Для прикладу ви можете знайти попарно нееквівалентних слів, а саме .L z x z ∈ L y z ∉ L p L p L = { 0 p } p + 1 ϵ , 0 , … , 0 $x,y$$L$$z$$xz \in L$$yz \notin L$$p$$L$$p$$L = \{0^p\}$$p+1$$\epsilon,0,\ldots,0^p$

Відповідь Юваля чудова. Більш просте формулювання того, що він описав, - це те, що кінцеві автомати не можуть вважати довільно високими, а кількість, на яку вони можуть розраховувати, обмежена числом станів в автоматах. Точніше, для автоматичного підрахунку до йому потрібно p + 1 станів (одного стану було б 0 ).$p$$p+1$$0$

Це, по суті, вся ідея, що стоїть за накачувальною лемою: якщо струна дійсно довга, кінцеві автомати повинні "забути", як високий її підрахунок, і почати все заново, що дозволяє повторювати розділ знову і знову, не дбаючи про нього. .

Отже, будь-яка звичайна мова, яка вимагає від лічильника до 3, щоб перевірити слово в ній, не може бути описана обмеженими автоматами розміром 3.

Ви можете придумати таку мову? (Ваш професор, можливо, також очікує, що ви доведете цей підрахунок аргументу, хоча в моєму навчальному плані таке розуміння накачаної леми було сприйнято як належне)

Існує алгоритм мінімізації DFA. Просто виберіть мову, яка має мінімальний DFA з 4 (або більше) станів. Буде робити все, що має мінімальну довжину 3 символи, тобто мова регулярного виразу , або (навіть простіше) a 3 . Щоб зрозуміти, чому, погляньте на доказ накачаної леми для звичайних мов.$a^3 a^*$$a^3$

ще одна ідея, діагоналізація ! перерахуйте всі ДФА 3 або менше штатів, укладіть об'єднання всіх, а потім візьміть доповнення. це DFA шляхом регулярного закриття мовних операцій. це можна побудувати за допомогою алгоритму, але питання задає лише опис .