Як перевірити, чи багатокутник є монотонним щодо довільної прямої?

Визначення : Багатокутник $P$ у площині називається монотонним щодо прямої $L$ , якщо кожна пряма, прямокутна на $L$ перетинає $P$ не більше ніж удвічі.

Враховуючи багатокутник $P$ , чи можна визначити, чи існує якась така лінія $L$ , що багатокутник $P$ є монотонним щодо $L$ ? Якщо так, то як?

Раніше я задав відповідне питання (де я запитав , як визначити , є чи багатокутник монотонна по відношенню до певної лінії), але зараз я зацікавлений в тому випадку , коли $L$ є НЕ дано або НЕ вказано заздалегідь.

algorithms computational-geometry

— ком
джерело

Чому б просто не повернути / змістити систему координат таким чином, щоб

L

$L$ перетворився на осі

x

$x$ а потім знову запустив старий алгоритм? Додаткова робота повинна бути керованою в

O (1)

$\mathcal{O}(1)$ .

— HdM

@HdM: рядок L не вводиться як частина вводу.

— Цуйосі Іто

Можливо.

Розглянемо вас багатокутник і розглянемо «увігнуті» вершини. Вони точно визначають, які лінії будуть перетинати багатокутник більше ніж удвічі. На наступному малюнку я позначив інтервали (червоним кольором) заборонених кутів. Якщо їх скласти разом і побачити дірку на червоному диску, то є дозволені кути $δ$ (синім кольором). Тоді багатокутник одноманітний щодо будь-якої лінії схилу $-1/\tan δ$ (зеленого кольору).

Астероїди

Тепер алгоритм.

Нехай - -та вершина многокутника. Спочатку обчисліть абсолютний кут ребра та внутрішній кут вершини . Використовуйте функцію, доступну на всіх хороших мовах програмування. $v_i=(x_i, y_i)$ $i$ $α_i$ $(v_iv_{i+1})$ $β_i$ $v_i$ atan2

α_{i} = atan2 (y_{i + 1} - y_{i}, x_{i + 1} - x_{i})

$α_i=\mbox{atan2}(y_{i+1}-y_i,x_{i+1}-x_i)$

β_{i} = α_{i + 1} - α_{i} + {\begin{cases} 0 & if α_{i + 1} \geq α_{i} \\ 2 π & if α_{i + 1} < α_{i} \end{cases}

$β_i = α_{i+1}-α_i+ \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \mbox{ if } α_{i+1} ≥ α_i \\ 2π & \mbox{ if } α_{i+1} < α_i \\ \end{array} \right.$

Зверніть порядок вершин, якщо вони не в порядку проти годинникової стрілки, тобто якщо не від'ємний. ( : проти годинникової стрілки, : за годинниковою стрілкою). $s=\sum_i β_i-nπ$ $s=-2π$ $s=2π$

Далі йдеться лише про внутрішніх кутах, більших за , тобто . Червоні на моєму малюнку. Мета - знайти кут який не знаходиться в по модулю . А саме таке, що для всіх таких, що : $m$ $π$ $β_j>π$ $δ$ $∪_j[α_{j+1},α_j]$ $π$ $j$ $β_j>π$

(δ < α_{j + 1} \lor α_{j} < δ) if α_{j + 1} < α_{j}

$(δ<α_{j+1} ∨ α_j<δ) \mbox{ if } α_{j+1}<α_j$

(α_{j} < δ < α_{j + 1}) if α_{j} < α_{j + 1}

$(α_j<δ<α_{j+1}) \mbox{ if } α_j<α_{j+1}$

$α_j$ $α_j$ $[0,π)$ $π$ $δ$

$O(n^2)$ $α_j\mbox{ mod }π$ $γ_1,…γ_m$ $δ∈\{\frac{γ_1}2,\frac{γ_1+γ_2}2,…,\frac{γ_{m-1}+γ_m}2,\frac{γ_m+π}2\}$

$δ$ $L$ $-1/\tan δ$ $P$

— jmad
джерело

Яке програмне забезпечення ви використали для створення цієї ілюстрації?

— їйман

@jojman я не пам’ятаю, але це повинен був бути GIMP, я не можу згадати жодної іншої програми, яку б я використовував тоді.

— jmad